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定積分の部分積分法

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今回の問題は「定積分の部分積分法」です。

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{0}^{3}xe^xdx$$$${\small (2)}~\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}x\sin{x}dx$$$${\small (3)}~\int_{1}^{e}\log xdx$$

 

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部分積分法用いた定積分

Point:定積分の部分積分法与えられた関数の一部を微分された式と考えて、

$$~~\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx~~$$$$~={\Large [} f(x)g(x) {\Large ]}_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx~~$$

 
・部分積分法を用いる式の判別
(1) (1次関数)×(他の種類の関数)
他の種類の関数を微分された関数として部分積分法を使って計算していきましょう。
 
(2) 対数関数 \(\log x\) を含む関数
\(\log x\) はそのままでは積分できないので、対数関数とは別の関数を微分された関数として部分積分法を使いましょう。また、他の種類の関数がないときは \(x’=1\) を用いて計算しましょう。

 

問題解説:定積分の部分積分法

問題解説(1)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int_{0}^{3}xe^xdx$$

$$~~~~~~\int_{0}^{3}xe^xdx$$\(e^x\) を微分された関数として部分積分法を用いると、$$~=\int_{0}^{3}x(e^x)’dx$$$$~={\Large [} xe^x {\Large ]}_{0}^{3}-\int_{0}^{3}(x)’e^xdx$$$$~={\Large [} xe^x {\Large ]}_{0}^{3}-\int_{0}^{3}e^xdx$$$$~={\Large [} xe^x {\Large ]}_{0}^{3}-{\Large [} e^x {\Large ]}_{0}^{3}$$$$~=(3e^3-0\cdot e^0)-(e^3-e^0)$$$$~=3e^3-e^3+1$$$$~=2e^3+1$$よって、答えは$$~~~2e^3+1$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}x\sin{x}dx$$

$$~~~~~~\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}x\sin{x}dx$$\(\sin{x}\) を微分された関数として部分積分法を用いると、$$~=\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}x(-\cos{x})’dx$$$$~={\Large [} x(-\cos{x}) {\Large ]}_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}-\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}x'(-\cos{x})dx$$$$~={\Large [} -x\cos{x} {\Large ]}_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}+\int_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}\cos{x}dx$$$$~={\Large [} -x\cos{x} {\Large ]}_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}+{\Large [} \sin{x} {\Large ]}_{0}^{{\large \frac{\pi}{2}}}$$$$~=\left(-\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}}\right)-(-0\cos{0})+\sin{\frac{\pi}{2}}-\sin{0}$$$$~=-\frac{\pi}{2}\cdot0-0+1-0$$$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int_{1}^{e}\log xdx$$

$$~~~~~~ \int_{1}^{e}\log xdx$$\(1\) を微分された関数として部分積分法を用いると、$$~= \int_{1}^{e}(x)’\log xdx$$$$~={\Large [} x\log x {\Large ]}_{1}^{e}-\int_{1}^{e}x(\log x)’dx$$$$~={\Large [} x\log x {\Large ]}_{1}^{e}-\int_{1}^{e}x\cdot\frac{1}{x}dx$$$$~= {\Large [} x\log x {\Large ]}_{1}^{e}-\int_{1}^{e}dx$$$$~= {\Large [} x\log x {\Large ]}_{1}^{e}-{\Large [} x {\Large ]}_{1}^{e}$$$$~=(e\log e-1\log 1)-(e-1)$$$$~=e-0-e+1$$$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。

 

今回のまとめ

定積分の部分積分法でも、どの式で用いるかの判断が大事になります。また、計算方法も押さえておきましょう。

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