２次曲線と直線

2020.10.01

２次曲線と直線の解法
問題解説：２次曲線と直線
今回のまとめ

２次曲線と直線の解法

Point：２次曲線と直線２次曲線 $f(x~,~y)=0$ と直線 $ax+by+c=0$ について、
$f(x~,~y)=0$ と直線 $ax+by+c=0$ を連立して、１文字消去した方程式が２次方程式となるとき、

■ 共有点の個数
その２次方程式の判別式を ${\rm D}$ とすると、
(1) ${\rm D}\gt0$ のとき
$~\Leftrightarrow~$ 共有点２つ（２点で交わる）
(2) ${\rm D}=0$ のとき
$~\Leftrightarrow~$ 共有点１つ（接する）
(3) ${\rm D}\lt0$ のとき
$~\Leftrightarrow~$ 共有点をもたない

■ 共有点の座標
① ２次方程式を解き、$x$ 座標を求める。
② 直線の式に代入し、$y$ 座標を求める。

問題解説：２次曲線と直線

問題解説(1)

問題次の２次曲線と直線は共有点をもつか答えよ。また、もつ場合はその共有点の座標を求めよ。$${\small (1)}~y^2=9x~,~y=x+2$$

$y=2x+2$ を $y^2=9x$ に代入すると、$$~~~(x+2)^2=9x$$展開して、移項すると、$$~~~x^2+4x+4-9x=0$$$$\hspace{27pt} x^2-5x+4=0~~~\cdots~{\large ①}$$この２次方程式の判別式を ${\rm D}$ とすると、$$~~~{\rm D}=(-5)^2-4\cdot1\cdot4$$$$~~~~~\,=25-16=9\gt0$$よって、共有点を２つもつ。

また、①より、$$~~~x^2-5x+4=0$$因数分解すると、$$~~~(x-1)(x-4)=0$$$$\hspace{55pt} x=1~,~4$$それぞれ $y=x+2$ に代入すると、$$~~~y=1+2=3$$$$~~~y=4+2=6$$したがって、２つの共有点は、$$~~~(1~,~3)~,~(4~,~6)$$となる。

問題解説(2)

問題次の２次曲線と直線は共有点をもつか答えよ。また、もつ場合はその共有点の座標を求めよ。$${\small (2)}~x^2+3y^2=12~,~x-y=-4$$

$x-y=-4$ より、$$~~~-y=-4-x$$$$~~~~~~~\,y=x+4$$これを $x^2+3y^2=12$ に代入すると、$$~~~x^2+3(x+4)^2=12$$展開して、移項すると、$$~~~x^2+3(x^2+8x+16)-12=0$$$$~~~~~\,x^2+3x^2+24x+4-12=0$$$$\hspace{47pt} 4x^2+24x+36=0$$両辺を $\div4$ すると、$$~~~x^2+6x+9=0~~~\cdots~{\large ①}$$この２次方程式の判別式を ${\rm D}$ とすると、$$~~~{\rm D}=6^2-4\cdot1\cdot9$$$$~~~~~\,=36-36=0$$よって、共有点を１つもつ。

また、①より、$$~~~x^2+6x+9=0$$因数分解すると、$$~~~(x+3)^2=0$$$$\hspace{32pt} x=-3$$これを $y=x+4$ に代入すると、$$~~~y=-3+4=1$$したがって、共有点は、$$~~~(-3~,~1)$$となる。

問題解説(3)

問題次の２次曲線と直線は共有点をもつか答えよ。また、もつ場合はその共有点の座標を求めよ。$${\small (3)}~3x^2-y^2=6~,~y=2x-1$$

$y=2x-1$ を $3x^2-y^2=6$ に代入すると、$$~~~3x^2-(2x-1)^2=6$$展開して、移項すると、$$~~~3x^2-(4x^2-4x+1)-6=0$$$$~~~~~\,3x^2-4x^2+4x-1-6=0$$$$\hspace{50pt} -x^2+4x-7=0$$両辺を $\times(-1)$ すると、$$~~~x^2-4x+7=0$$この２次方程式の判別式を ${\rm D}$ とすると、$$~~~{\rm D}=(-4)^2-4\cdot1\cdot7$$$$~~~~~\,=16-28=-12\lt0$$${\rm D}\lt0$ となり、この２次方程式は実数解をもたない。
したがって、共有点をもたない。