放物線の頂点が描く曲線

2020.10.03

放物線の頂点が描く曲線の解法
問題解説：放物線の頂点が描く曲線
今回のまとめ

放物線の頂点が描く曲線の解法

Point：放物線の頂点が描く曲線放物線の頂点の軌跡を求める手順は、
① 放物線を平方完成する。
② 頂点を $(x~,~y)$ として、$$~~~\left\{ \begin{array}{l} x=\cdots \\ y=\cdots \end{array}\right.$$とそれぞれを媒介変数 $t$ の式で表す。
③ 媒介変数 $t$ を消去するように連立し、$x~,~y$ だけの式にする。この式が曲線の方程式となる。

問題解説：放物線の頂点が描く曲線

問題放物線 $y=x^2-tx+t^2-3t+1$ の頂点は、$t$ の値によってどのような曲線上を動くか求めよ。

平方完成すると、$$~~~y=x^2-tx+t^2-3t+1$$$$~~~~~=\left(x-\frac{\,t \,}{\,2\,}\right)^2-\frac{\,t^2 \,}{\, 4\,}+t^2-3t+1$$$$~~~~~=\left(x-\frac{\,t \,}{\,2\,}\right)^2+\frac{\,3\,}{\, 4\,}t^2-3t+1$$よって、頂点が、$$~~~(x~,~y)=\left(\frac{\,t \,}{\,2 \,}~,~\frac{\,3\,}{\, 4\,}t^2-3t+1\right)$$となるので、$$~~~\left\{~ \begin{array}{l} x={\large \frac{\,t\,}{\,2\,}} \\ y={\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}t^2-3t+1 \end{array}\right.$$$x={\large \frac{\,t\,}{\,2\,}}$ より、$$~~~\frac{\,t \,}{\,2 \,}=x$$両辺を $\times2$ すると、$$~~~t=2x$$これを $y$ の式に代入すると、$$~~~y=\frac{\,3 \,}{\,4 \,}(2x)^2-3(2x)+1$$$$~~~~~=\frac{\,3 \,}{\,4 \,}\cdot4x^2-6x+1$$$$~~~~~=3x^2-6x+1$$したがって、放物線 $y=3x^2-6x+1$ 上を動く。