複素数平面上の対称移動

複素数平面上の対称移動の解法

Point：複素数平面上の対称移動複素数 $z=a+bi$ を複素数平面上で表したとき、

 
■ 実軸に関して対称な点
座標が $(a~,~-b)$ となり、複素数で表すと $a-bi$
また、$z$ を用いて表すと、$a+bi$ と共役な複素数であるので、

$$\overline {z}=a-bi$$

となる。
 
■ 原点に関して対称な点
座標が $(-a~,~-b)$ となり、複素数で表すと $-a-bi$
また、$z$ を用いて表すと、$a+bi$ と符号が逆の複素数であるので、

$$-z=-a-bi$$

となる。
 
■ 虚軸に関して対称な点
座標が $(-a~,~b)$ となり、複素数で表すと $-a+bi$
また、$z$ を用いて表すと、$a+bi$ と共役な複素数の符号が逆であるので、

$$-\overline {z}=-a+bi$$

となる。

問題解説：複素数平面上の対称移動

問題解説(1)

$z=3+2i$ より、座標は $(3~,~2)$ となる。

実軸＝ $x$ 軸で対称な点の座標は、 $$~~~(3~,~-2)$$ よって、複素数で表すと $3-2i$ となる。
また、$z=3+2i$ より $3-2i$ は共役な複素数となるので、 $$~~~\overline {z}=3-2i$$ したがって、答えは $3-2i~,~\overline {z}$ となる。

問題解説(2)

$z=3+2i$ より、座標は $(3~,~2)$ となる。

虚軸＝ $y$ 軸で対称な点の座標は、 $$~~~(-3~,~2)$$ よって、複素数で表すと $-3+2i$ となる。
また、$z=3+2i$ より $-3+2i$ は共役な複素数かつ符号が逆となるので、 $$~~~-\overline {z}=-3+2i$$ したがって、答えは $-3+2i~,~-\overline {z}$ となる。

問題解説(3)

$z=3+2i$ より、座標は $(3~,~2)$ となる。

原点で対称な点の座標は、 $$~~~(-3~,~-2)$$ よって、複素数で表すと $-3-2i$ となる。
また、$z=3+2i$ より $-3-2i$ は符号が逆の複素数となるので、 $$~~~-z=-3-2i$$ したがって、答えは $-3-2i~,~-z$ となる。

今回のまとめ

複素数平面上の点の対称移動は、座標平面上の位置関係と $z$ の符号と共役な複素数 $\overline {z}$ を考えて解きましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ｜複素数平面

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