三角形の頂点と点の回転

三角形の頂点と点の回転の解法
問題解説：三角形の頂点と点の回転
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

三角形の頂点と点の回転の解法

Point：三角形の頂点と点の回転■ 複素数平面上の正三角形
２点 ${\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)$ と点 ${\rm C}(z)$ が正三角形をつくるとき、

点 ${\rm C}(z)$ は、点 ${\rm A}(\alpha)$ を中心に ${\rm B}(\beta)$ を $+{\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ または $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ 回転させた点になるので、

$$z=\left(\cos{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}+i\sin{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}\right)(\beta-\alpha)+\alpha$$

または

$$\scriptsize z=\left\{ \cos\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}\right)+i\sin\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}\right)\right\}(\beta-\alpha)+\alpha$$

となる。

■ 複素数平面上の直角二等辺三角形
２点 ${\rm O}(0)~,~{\rm A}(\alpha)$ と点 ${\rm B}(z)$ で $\angle {\rm AOB}$ が直角の直角二等辺三角形をつくるとき、

点 ${\rm B}(z)$ は、原点を中心に点 ${\rm A}(\alpha)$ を $+{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}$ または $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}$ 回転させた点になるので、

$$z=\left(\sin{\frac{\,\pi \,}{\,2 \,}}+i\sin{\frac{\,\pi \,}{\,2 \,}}\right)\cdot \alpha$$

または

$$z=\left\{ \sin\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,2 \,}}\right)+i\sin\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,2 \,}}\right)\right\}\cdot \alpha$$

となる。

問題解説：三角形の頂点と点の回転

問題解説(1)

問題複素数平面上の点について、次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$３点 ${\rm A}(2+i)~,~{\rm B}(4+5i)~,~{\rm C}$ について、$\triangle {\rm ABC}$ が正三角形となるとき、点 ${\rm C}$ を表す複素数を求めよ。

点 ${\rm C}$ を表す複素数を $z$ とすると、点 ${\rm C}(z)$ は、点 ${\rm A}(2+i)$ を中心に点 ${\rm B}(4+5i)$ を $+{\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ または $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ 回転させた点になる。
ここで、点 ${\rm A}$ を原点まで平行移動させると、点 ${\rm B}$ は、$$~~~~~~(4+5i)-(2+i)$$$$~=4+5i-2-i=2+4i$$これより、点 ${\rm B’}(2+4i)$ に平行移動される。
また、点 ${\rm C}$ は点 ${\rm C’}(z-2-i)$ に平行移動される。
よって、点 ${\rm C’}$ が原点を中心に点 ${\rm B’}$ を $+{\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ または $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ 回転させた点になる。
(ⅰ) $+{\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ 回転したとき、$$~z-2-i=\left(\cos{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}+i\sin{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}\right)(2+4i)$$$\sin{}~,~\cos{}$ を計算すると、単位円より、

また、$-2-i$ を移項すると、$$~~~~~~z$$$$~=\left(\frac{\,1 \,}{\,2 \,}+\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}i\right)(2+4i)+2+i$$$$~=1+2i+\sqrt{3}i+2\sqrt{3}i^2+2+i$$$i^2=-1$ より、$$~=\left(1-2\sqrt{3}+2\right)+\left(2+\sqrt{3}+1\right)i$$$$~=\left(3-2\sqrt{3}\right)+\left(3+\sqrt{3}\right)i$$
(ⅱ) $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ 回転したとき、$$~~~~~~z-2-i$$$$~=\left\{ \cos\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}\right)+i\sin\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}\right)\right\}(2+4i)$$$\sin{}~,~\cos{}$ を計算すると、単位円より、

また、$-2-i$ 移項すると、$$~~~~~~z$$$$~=\left(\frac{\,1 \,}{\,2 \,}-\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}i\right)(2+4i)+2+i$$$$~=1+2i-\sqrt{3}i-2\sqrt{3}i^2+2+i$$$i^2=-1$ より、$$~=\left(1+2\sqrt{3}+2\right)+\left(2-\sqrt{3}+1\right)i$$$$~=\left(3+2\sqrt{3}\right)+\left(3-\sqrt{3}\right)i$$
したがって、(ⅰ)と(ⅱ)より、点 ${\rm C}$ を表す複素数は、$$~~~\left(3-2\sqrt{3}\right)+\left(3+\sqrt{3}\right)i$$または$$~~~\left(3+2\sqrt{3}\right)+\left(3-\sqrt{3}\right)i$$となる。
また、この２つの解を合わせて、$$~~~\left(3\pm2\sqrt{3}\right)+\left(3\mp\sqrt{3}\right)i$$（ただし、符号同順）となる。

問題解説(2)

問題複素数平面上の点について、次の問いに答えよ。
${\small (2)}~$３点 ${\rm O}(0)~,~{\rm A}(2+i)~,~{\rm B}$ について、$\triangle {\rm OAB}$ が $\angle {\rm AOB}$ が直角である直角二等辺三角形となるとき、点 ${\rm B}$ を表す複素数を求めよ。

点 ${\rm B}$ を表す複素数を $z$ とすると、点 ${\rm B}(z)$ は、原点を中心に点 ${\rm A}(2+i)$ を $+{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}$ または $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}$ 回転させた点になる。
(ⅰ) $+{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}$ 回転したとき、$$~~~~~~z$$$$~=\left(\cos{\frac{\,\pi \,}{\,2 \,}}+i\sin{\frac{\,\pi \,}{\,2 \,}}\right)(2+i)$$$\sin{}~,~\cos{}$ を計算すると、単位円より、

よって、$$~=(0+i\times 1)(2+i)$$$$~=i(2+i)$$$$~=2i+i^2$$$i^2=-1$ より、$$~=-1+2i$$
(ⅱ) $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}$ 回転したとき、$$~~~~~~z$$$$~=\left\{ \cos\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,2 \,}}\right)+i\sin\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,2 \,}}\right)\right\}(2+i)$$$\sin{}~,~\cos{}$ を計算すると、単位円より、

よって、$$~=\{0+i\times (-1)\}(2+i)$$$$~=-i(2+i)$$$$~=-2i-i^2$$$i^2=-1$ より、$$~=1-2i$$したがって、点 ${\rm B}$ を表す複素数は、
　$-1+2i$ または $1-2i$
また、この２つの解を合わせて、$\pm1\mp2i$（ただし、符号同順）となる。