複素数平面上の内分点・外分点・重心の解法
２点 \({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)\) について、次の点を表す複素数は、
(1) 線分 \({\rm AB}\) を \(m\,:\,n\) に内分する点は、
(2) 線分 \({\rm AB}\) を \(m\,:\,n\) に外分する点は、
(3) 線分 \({\rm AB}\) の中点は、
■ 複素数平面上の三角形の重心
３点 \({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) について、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を表す複素数は、
問題解説：複素数平面上の内分点・外分点・重心
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\)
\(\alpha=4+i~,~\beta=2+3i\) とすると、中点 \({\rm M}\) を表す複素数は、$$~~~~~~\frac{\,(4+i)+(2+3i) \,}{\,2\,}$$$$~=\frac{\,6+4i \,}{\,2 \,}$$$$~=3+2i$$したがって、答えは \({\rm M}(3+2i)\) となる。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm BC}\) を \(1\,:\,2\) に内分する点 \({\rm P}\)
\(\beta=2+3i~,~\gamma=-1+2i\) とすると、\(1\,:\,2\) に内分する点を表す複素数は、$$~~~~~~\frac{\,2\cdot(2+3i)+1\cdot(-1+2i) \,}{\,1+2 \,}$$$$~=\frac{\,4+6i-1+2i \,}{\,3 \,}$$$$~=\frac{\,3+8i \,}{\, 3\,}$$$$~=1+\frac{\,8 \,}{\,3 \,}i$$したがって、答えは \({\rm P}\left(1+{\large \frac{\,8\,}{\,3\,}}i\right)\) となる。
問題解説(3)
\({\small (3)}~\)線分 \({\rm AC}\) を \(3\,:\,2\) に外分する点 \({\rm Q}\)
\(\alpha=4+i~,~\gamma=-1+2i\) とすると、\(3\,:\,2\) に外分する点を表す複素数は、$$~~~~~~\frac{\,-2\cdot(4+i)+3\cdot(-1+2i) \,}{\,3-2 \,}$$$$~=\frac{\,-8-2i-3+6i \,}{\,1\,}$$$$~=-11+4i$$したがって、答えは \({\rm Q}(-11+4i)\) となる。
問題解説(4)
\({\small (4)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\)
\(\alpha=4+i\)\(~,~\)\(\beta=2+3i\)\(~,~\)\(\gamma=-1+2i\) とすると、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を表す複素数は、$$~~~~~~\frac{\,(4+i)+(2+3i)+(-1+2i) \,}{\,3 \,}$$$$~=\frac{\,5+6i \,}{\,3 \,}$$$$~=\frac{\,5 \,}{\, 3\,}+2i$$したがって、答えは \({\rm G}\left({\large \frac{\,5\,}{\,3\,}}+2i\right)\) となる。
今回のまとめ
複素数平面上の内分点・外分点・中点、三角形の重心について解説しました。それぞれの公式を覚えていきましょう。
