組合せの記号の使い方
この式そのものを覚えるのは大変だと思うので、分母分子それぞれの計算方法を暗記しましょう。
・分子は \( n\) から \( r\) 個の整数を１つ１つ数字を \(-1\) しながらかけ算
・分母は \( r\) から \( r\) 個の整数を１つ１つ数字を \(-1\) しながらかけ算
かけ算する整数は１つ１つ数字を \( -1\) していくのを忘れないように！
例えば、\({}_{4}{\rm C}_{3}\) の場合は、
分子は \(4\) から３つのかけ算
分母は \(3\) から３つのかけ算
よって、$$~~~{}_{4}{\rm C}_{3}=\frac{4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 1}=4$$
\({}_{8}{\rm C}_{4}\) の場合は、
分子は \(8\) から４つのかけ算
分母は \(4\) から４つのかけ算
よって、$$~~~{}_{8}{\rm C}_{4}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=70$$
問題解説：組合せの記号
問題解説(1)
５つのものから３つ選ぶ組合せより
分子は \(5\) から３つのかけ算
分母は \(3\) から３つのかけ算
よって、$$~~~{}_{5}{\rm C}_{3}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}$$$$~~~~~~~~~=5 \cdot 2$$$$~~~~~~~~~=10$$答えは \(10\) となります。
問題解説(2)
７つのものから２つ選ぶ組合せより
分子は \(7\) から２つのかけ算
分母は \(2\) から２つのかけ算
よって、$$~~~{}_{7}{\rm C}_{2}=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}$$$$~~~~~~~~~=7 \cdot 3$$$$~~~~~~~~~=21$$答えは \(21\) となります。
問題解説(3)
９つのものから７つ選ぶ組合せは、９つのものから２つ選ぶ組合せと等しいことから、$$~~~{}_{9}{\rm C}_{7}={}_{9}{\rm C}_{2}$$ 分子は \(9\) から２つのかけ算
分母は \(2\) から２つのかけ算
よって、$$~~~{}_{9}{\rm C}_{2}=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}$$$$~~~~~~~~~=9 \cdot 4$$$$~~~~~~~~~=36$$答えは \(36\) となります。
このように選ぶものの数が多い場合は、逆に選ばない方で考えてみましょう。
問題解説(4)
６つのものから６つ選ぶ組合せは、すべてのものを選ぶ１通りのみとなるので、$$~~~{}_{6}{\rm C}_{6}=1$$よって、答えは \(1\) となります。
一般的に \({}_{n}{\rm C}_{n}=1\) が成り立ちます。
問題解説(5)
５つのものから０つ選ぶ組合せは、すなわち何も選ばない１通りとなるので、$$~~~{}_{5}{\rm C}_{0}=1$$よって、答えは \(1\) となります。
一般的に \({}_{n}{\rm C}_{0}=1\) が成り立ちます。
今回のまとめ
組合せの計算は練習してできるようになりましょう。また、選ばない方を数える方法や \({}_{n}{\rm C}_{n}=1\)、\({}_{n}{\rm C}_{0}=1\) などの計算方法も覚えておきましょう。
