図形と組合せ
\(n\) 個の頂点から三角形の頂点となる３つを選べばよいので、
で求めることができます。
・正n角形の頂点を結んでできる対角線の本数
\(n\) 個の頂点から線分の端となる２つを選べばよいが、これは正n角形の \(n\) 本の辺も含むので、
で求めることができます。
問題解説：図形と組合せ
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)５本の平行線と、それとは別の３本の平行線とが交わってできる平行四辺形の数
縦に平行線が５本並んでおり、それとは別の平行線が横に３本並んでいると考えます。
この内部に平行四辺形を作るためには、
このように縦から２本、横からも２本選べば１つの平行四辺形ができます。また平行線の選び方を変えると、
このように選び方が１つに決まればそれに対する平行四辺形がただ１つに決まります。
よって縦の５本のなかから２本選ぶ組合せは、$$~~~{}_{5}{\rm C}_{2}=\frac{5 \times 4}{2 \times 1}=10$$次に横の３本のなかから２本を選ぶ組合せは、$$~~~{}_{3}{\rm C}_{2}=\frac{3 \times 2}{2 \times 1}=3$$この２つの場合の数は「連続して起こる」ので、積の法則より$$~~~10 \times 3 =30$$よって答えは、30通りとなります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)正八角形について、頂点を結んでできる三角形の個数
三角形を作るためには３つの頂点が必要になります。よって正八角形の８つの頂点から３つを選べば１つの三角形ができるので、
計算式は、$$~~~{}_{8}{\rm C}_{3}=\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}=56$$よって、答えは56通りとなります。
問題解説(3)
\({\small (3)}~\)正八角形について、頂点を結んでできる対角線の本数
８つの頂点から２つの頂点を選べば線分が１本できます。
計算式は、$$~~~{}_{8}{\rm C}_{2}=\frac{8 \times 7 }{2 \times 1}=28$$ただし、これは正八角形の８本の辺を含んでいるので、$$~~~28-8=20$$よって、答えは20通りとなります。
今回のまとめ
今回は図形を作る問題ですが、その作り方によって組合せの問題になるパターンを学習しました。どのような組合せを考えれば図形ができるかをしっかりと理解しましょう。
