代表を選ぶ組合せの解法
\(n\) 個のものから \(r\) 個を選ぶ組合せとなるので、
で求めることができます。
また、「少なくとも」とあるときは、その否定を考えて「すべての場合の数」から引く方法を覚えておきましょう。
問題解説：代表を選ぶ
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)すべての選び方
男子５人と女子４人を合わせた９人の中から代表を３人選べばよいので、計算式は、$$~~~{}_{9}{\rm C}_{3}=\frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}=84$$答えは、84通りとなります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)男子１人、女子２人となる選び方
男子から１人と女子から２人選ばないといけません。
まずは男子５人から１人を選ぶ組合せの計算は、$$~~~{}_{5}{\rm C}_{1}=5$$よって、5通りとなります。
次に女子４人から２人を選ぶ組合せの計算は、$$~~~{}_{4}{\rm C}_{2}= \frac{4 \times 3}{2 \times 1}=6$$よって、6通りとなります。
以上よりこの２つの場合の数は「同時に起こる」ので積の法則より$$~~~5\times 6 =30$$答えは、30通りとなります。
問題解説(3)
\({\small (3)}~\)少なくとも女子１人を選ぶ選び方
「少なくとも女子１人を選ぶ」の意味は女子が１人以上選ばれていればいいので、
・女子が１人選ばれて残り２人は男子
・女子が２人選ばれて残り１人が男子
・女子が３人選ばれる
これら３つの場合に分けられます。
【解法１】
上の３つのパターン分けられるのでそれぞれの場合で計算していきましょう。
(ⅰ) 女子が１人選ばれて残り２人は男子が選ばれる場合
計算式は、$$~~~{}_{4}{\rm C}_{1}\times {}_{5}{\rm C}_{2}=4 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1}=40$$ よって、40通り
(ⅱ) 女子が２人選ばれて残り１人が男子が選ばれる場合
計算式は、$$~~~{}_{4}{\rm C}_{2}\times {}_{5}{\rm C}_{1}=\frac{4 \times 3}{2 \times 1}\times 5=30$$ よって、30通り
(ⅲ) 女子が３人選ばれる場合
計算式は、$$~~~{}_{4}{\rm C}_{3}=\frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1}=4$$よって、4通り
以上３つの場合は「同時に起こらない」ので和の法則より$$~~~40+30+4=74$$よって、答えは74通りとなります。
【解法２】
「少なくとも女子１人を選ぶ」の否定は「男子が３人選ばれる」となります。ですので、「すべての場合の数」からこの「男子が３人選ばれる」場合の数を引けば、「少なくとも女子１人を選ぶ」場合の数が計算できます。
よって、男子が３人選ばれるとき計算式は、$$~~~{}_{5}{\rm C}_{3}=\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}=10$$よって、10通り
(1)のすべての場合の数の答えをである84通りを利用して$$~~~84-10=74$$よって、答えは74通りとなります。
問題解説(4)
\({\small (4)}~\)男子から３人、または女子から３人を選ぶ選び方
「または」で分けられた問題は、まずはそれぞれの場合の数を計算しましょう。
(ⅰ) 男子から３人選ぶとき
男子５人から３人を選ぶ組合せの計算は、$$~~~{}_{5}{\rm C}_{3}=\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}=10$$よって、10通り。
(ⅱ) 男子から３人選ぶとき
女子４人から３人を選ぶ組合せの計算は、$$~~~{}_{4}{\rm C}_{3}=\frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1}=4$$よって、4通り。
以上より(ⅰ)と(ⅱ)は同時に起こらないので和の法則より$$~~~10+4=14$$よって、答えは14通り。
今回のまとめ
組合せの記号を用いて代表を選ぶ問題を見ていきました。条件が付いたときは、「少なくとも～」や「または」などの語句に注意して問題を解いていきましょう。
