和事象と排反事象の解法
この２つの事象の共通部分が存在しないとき、これらを互いに排反といいます。
このとき、この２つの和事象の確率は、
で求めることができます。
また、この２つの事象の共通部分 \(\rm A\cap B\) が存在するとき、
この２つの和事象の確率は、
で求めることができます。
問題解説：和事象と排反事象
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)２の倍数または一の位が３である２桁の数
すべての場合の数は50枚のカードから1枚だけ取り出すので、50通りとなります。
次に「２の倍数」と「一の位が３である二桁の数」は互いに排反である。
ベン図より、これらは同時に起こらないのでそれぞれの確率のたし算で求まります。
(ⅰ) ２の倍数
倍数の数え方より$$~~~\{~2\times1~,~2\times2~,~2\times3~,~\cdots~,~2\times25~\}$$よって、25通りとなり確率は \( {\Large \frac{25}{50}} \) となります。
(ⅱ) 一の位が３である二桁の数
条件に当てはまるのは、$$~~~\{~13~,~23~,~33~,~43~\}$$よって、4通りとなり確率は \( {\Large \frac{4}{50}} \) となります。
したがって求める確率は、互いに排反であることより$$~~~\frac{25}{50}+\frac{4}{50}=\frac{29}{50}$$答えは \( {\Large \frac{29}{50}} \) となります。
※ここで計算のポイントとして、それぞれの確率は約分せずにそのまま計算しましょう。約分をしてしまうと、その後の計算で通分が必要となり二度手間になってしまうからです。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)２の倍数または３の倍数
すべての場合の数は(1)と同様に50通りとなります。
次に「２の倍数」と「３の倍数」は互いに排反ではありません。これらが同時に起こる「６の倍数」があるからです。したがって求め方が違います。
ベン図より「２の倍数」と「３の倍数」のたし算だけでは求まりません。この２つの共通部分の「６の倍数」を２回カウントしてしまっているからです。よって１回「６の倍数」を引く必要があります。
まずはそれぞれの確率を求めましょう。
(ⅰ) ２の倍数
倍数の数え方より$$~~~\{~2\times1~,~2\times2~,~2\times3~,~\cdots~,~2\times25~\}$$よって、25通りとなり確率は \( {\Large \frac{25}{50}} \) となります。
(ⅱ) ３の倍数
倍数の数え方より$$~~~\{~3\times1~,~3\times2~,~3\times3~,~\cdots~,~3\times16~\}$$よって、16通りとなり確率は \( {\Large \frac{16}{50}} \) となります。
(ⅲ) ６の倍数
倍数の数え方より$$~~~\{~6\times1~,~6\times2~,~6\times3~,~\cdots~,~6\times8~\}$$よって、8通りとなり確率は \( {\Large \frac{8}{50}} \) となります。
以上より求める確率は、$$~~~\frac{25}{50}+\frac{16}{50}-\frac{8}{50}=\frac{33}{50}$$答えは \( {\Large \frac{33}{50}} \) となります。
ここでもそれぞれの確率は約分せずにそのままで計算を進めましょう。
今回のまとめ
和事象の確率は、それらの確率が排反事象であるかどうかで解法が変わってきます。ポイントはそれらが同時に起こりか起こらないかです！ベン図も有効ですので描けるようになりましょう。
