問題解説：点が動く確率
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)原点の位置にある
まずは点がどのように動くと原点や座標が3の位置に動くかを考えましょう。
５以上の目が出て＋２移動する事象をＡとし、５より小さい目が出て−１移動する事象をＢとする。
Ａが起こる確率は、すべての場合の数が6通りで、５以上の目は５または６の2通りであるので、$$~~~\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$ また、Ｂが起こる確率は$$~~~\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$となります。
また、全３回中 \( x \) 回Ａが起こるとすると、Ｂが起こるのは \( 3-x \) 回となる。よって３回さいころを振ったあとの点の座標は、$$~~~~~~2\times x+(-1)\times(3-x)$$$$~=2x-3+x$$$$~=3x-3$$よって、３回中 \( x \) 回Ａが起こるとき点の座標は \( 3x-3 \) となります。
ここで、原点の位置にあるときは$$~~~~~~3x-3=0$$$$\hspace{32pt} 3x=3$$$$\hspace{37pt} x=1$$これより \( x=1 \) のとき、すなわちＡが１回起こるとき点Ｐは原点に移動する。
よって、３回中１回Ａが起こるので求める確率は、
となるので計算式は、$$~~~~~~{}_{3} {\rm C}_{1}\times \frac{1}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$$$$~=3\times \frac{1}{3} \times \frac{4}{9}$$$$~ =\frac{4}{9}$$よって、 \( {\Large \frac{4}{9}} \) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)座標3の位置にある
次の問題では点Ｐが座標3の位置に動くので、３回中 \( x \) 回Ａが起こるとき点の座標は \( 3x-3 \) となることより、$$~~~~~~3x-3=3$$$$\hspace{32pt} 3x=6$$$$\hspace{37pt}x=2$$これより \( x=2 \) のとき、すなわちＡが２回起こるとき点Ｐは原点に移動する。
よって、３回中２回Ａが起こるので求める確率は、
となるので計算式は、$$~~~~~~{}_{3} {\rm C}_{2}\times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3}$$$$~=\frac{3\times2}{2\times1}\times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3}$$$$~ =3\times \frac{2}{27}=\frac{2}{9}$$よって、 \( {\Large \frac{2}{9}} \) となります。
今回のまとめ
点が移動する確率でも、試行はさいころを複数回振るので反復試行の確率となります。また、どのように移動すれば目的の座標に動くかは立式し求められるようになりましょう！
