不定方程式①

不定方程式
問題解説：不定方程式①
今回のまとめ

不定方程式

Point：不定方程式( ⅰ ) $ax+by=0$ のとき(右辺が $0$)
例えば、 $7x-5y=0$ のときは、
① $7x=5y$ と式変形します。
② $7$ と $5$ は互いに素であるから、$x$ は必ず $5$ の倍数となるので、$$~~~x=5m$$ただし、$m$ は整数。と表すことができます。
③ この式を①の式に代入して $y$ の値も求めます。

( ⅱ ) $ax+by=c$ のとき(右辺が定数)
例えば、$7x-5y=1$ のときは、
① この式を満たす整数解 $x~,~y$ を１組見つけます。
このとき、次の表を書くと調べやすくなります。

$\times1$	$7$	$5$
$\times2$	$14$	$10$
$\times3$	$21$	$15$

表より$$~~~-14+15=1$$となるので、$x=-2~,~y=-3$ が整数解の１つの組となります。
よって、$$~~~7\cdot(-2)-5\cdot(-3)=1$$が成り立ちます。

② もとの式と①で求めた式の両辺を引き算します。
$\hspace{ 75 pt}7x-5y=1$
$\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~7\cdot(-2)-5\cdot(-3)=1~}$
これより、$$~~~7(x+2)-5(y+3)=0$$移項すると、$$~~~7(x+2)=5(y+3)$$③ できた式を( ⅰ )と同様に解いて、整数解を求めます。

問題解説：不定方程式①

問題解説(1)

問題次の方程式の整数解をすべて求めよ。$${\small (1)}~5x+2y=0$$

式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}5x=-2y~~\cdots{\large ①}$$ここで、$x~,~y$ は整数で $5$ と $-2$ は互いに素である。
よって、$x$ は $2$ の倍数となるので、$$~~~x=2m~~\cdots{\large ②}$$ただし、$m$ は整数となります。
これを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2y$$両辺を入れ替えて $-2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2y=5\cdot2m$$$$\hspace{ 23 pt}y=-5m~~\cdots{\large ③}$$よって、②と③より求める整数解は$$~~~x=2m~,~y=-5m$$ただし、$m$ は整数
となります。

問題解説(2)

問題次の方程式の整数解をすべて求めよ。$${\small (2)}~5x+2y=1$$

$$~~~5x+2y=1~~\cdots{\large ①}$$これを満たす整数解は、

$\times1$	$5$	$2$
$\times2$	$10$	$4$

この表より、$5-4=1$ となるので、$$~~~x=1~,~y=-2$$これが整数解の１つの組となります。
よって、$$~~~5\cdot1+2\cdot(-2)=1~~\cdots{\large ②}$$が成り立ちます。

次に①から②の両辺を引き算することより、
$\hspace{ 59 pt}5x+2y=1$
$\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~5\cdot1+2\cdot(-2)=1~}$
これより、$$\hspace{ 10 pt}5(x-1)+2(y+2)=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}5(x-1)=-2(y+2)~~\cdots{\large ③}$$ここで、$x-1~,~y+2$ は整数で、$5$ と $-2$ は互いに素である。
よって、$x-1$ は $2$ の倍数となるので、$$~~~x-1=2m~~\cdots{\large ④}$$ただし、$m$ は整数となります。
これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2\cdot(y+2)$$両辺を入れ替えて、$-2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2(y+2)=5\cdot2m$$$$\hspace{ 31 pt}y+2=-5m~~\cdots{\large ⑤}$$
よって、④より$$\hspace{ 10 pt}x-1=2m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2m+1$$
また、⑤より$$\hspace{ 10 pt}y+2=-5m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-5m-2$$
したがって、整数解は$$~~~x=2m+1~,~y=-5m-2$$ただし、$m$ は整数
となります。

問題解説(3)

問題次の方程式の整数解をすべて求めよ。$${\small (3)}~5x+2y=2$$

$$~~~5x+2y=2~~\cdots{\large ①}$$これを満たす整数解は、

$\times1$	$5$	$2$
$\times2$	$10$	$4$
$\times3$	$15$	$6$
$\times4$	$20$	$8$

表より、$10-8=2$ となるので、$$~~~x=2~,~y=-4$$これが整数解の１つの組となります。
よって、$$~~~5\cdot2+2\cdot(-4)=2~~\cdots{\large ②}$$が成り立ちます。

次に①から②の両辺を引き算すると、
$\hspace{ 59 pt}5x+2y=2$
$\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~5\cdot2+2\cdot(-4)=2~}$
これより、$$\hspace{ 10 pt}5(x-2)+2(y+4)=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}5(x-2)=-2(y+4)~~\cdots{\large ③}$$ここで、$x-2~,~y+4$ は整数で、$5$ と $-2$ は互いに素である。
よって、$x-2$ は $2$ の倍数となるので、$$~~~x-2=2m~~\cdots{\large ④}$$ただし、$m$ は整数となります。
これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2\cdot(y+4)$$両辺を入れ替えて、$-2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2(y+4)=5\cdot2m$$$$\hspace{ 31 pt}y+4=-5m~~\cdots{\large ⑤}$$
よって、④より$$\hspace{ 10 pt}x-2=2m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2m+2$$
また、⑤より$$\hspace{ 10 pt}y+4=-5m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-5m-4$$
したがって、整数解は$$~~~x=2m+2~,~y=-5m-4$$ただし、$m$ は整数
となります。