三角形の内心

三角形の内心の性質
問題解説：三角形の内心
今回のまとめ

三角形の内心の性質

Point：三角形の内心【定理】三角形の３つの内角の二等分線は１点で交わる。

このとき、交点 ${\rm I}$ を中心とすれ円を $\triangle {\rm ABC}$ の内接円といい、点 ${\rm I}$ を内心という。

・内心についての性質
( ⅰ ) 角の二等分線
頂点から内心 ${\rm I}$ に引いた線は角の二等分線となるので、

$$\angle{\rm BAI}=\angle{\rm CAI}$$

が成り立ちます。また、他の頂点でも同様に成り立ちます。

( ⅱ ) 円と接線の性質
図のように接点を ${\rm S},{\rm T}$ とすると、

円と接線の性質より、

$${\rm AS}={\rm AT}$$$$~~~\angle{\rm ISA}=\angle{\rm ITA}=90^\circ$$

が成り立ちます。また、他の頂点でも同様に成り立ちます。

問題解説：三角形の内心

問題解説(1)

問題次の図で $\triangle {\rm ABC}$ とその内心 ${\rm I}$ について、この内接円の直線 ${\rm AB}$ との接点を ${\rm S}$、直線 ${\rm AC}$ との接点を ${\rm T}$ として、$\angle{\rm A}=80^\circ$ のとき、次の角を求めよ。

$${\small (1)}~\angle{\rm BIC}$$

図は次のようになります。

$\angle{\rm IBC}=x~,~\angle{\rm ICB}=y$ とすると、点 ${\rm I}$ は内心で ${\rm BI}$ $,$ ${\rm CI}$ はそれぞれ $\angle{\rm B}$ $,$ $\angle{\rm C}$ を二等分する線となるので、$$~~~\angle{\rm IBA}=\angle{\rm IBC}=x$$$$~~~\angle{\rm ICA}=\angle{\rm ICB}=y$$よって、$\triangle {\rm ABC}$ の内角の和より、$$\hspace{ 10 pt}80^\circ+2x+2y=180^\circ$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2x+2y=180^\circ-80^\circ$$$$\hspace{ 10 pt}2x+2y=100^\circ$$両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x+y=50^\circ$$
次に、$\triangle {\rm IBC}$ の内角の和より、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BIC}+x+y=180^\circ$$ ここで、$x+y=50^\circ$ を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BIC}+50^\circ=180^\circ$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BIC}=180^\circ-50^\circ$$$$\hspace{ 38 pt}=130^\circ$$
よって、答えは$$~~~\angle{\rm BIC}=130^\circ$$となります。

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\angle{\rm AST}$$

三角形の内接円の性質より、
$$~~~{\rm AS}={\rm AT}$$よって、$\triangle {\rm AST}$ は二等辺三角形となり底角が等しくなります。$$~~~\angle{\rm AST}=\angle{\rm ATS}$$よって、$\triangle {\rm AST}$ の内角の和より、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm SAT}+\angle{\rm AST}+\angle{\rm ATS}=180^\circ$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}80^\circ+ \angle{\rm AST}+ \angle{\rm AST}=180^\circ$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2 \angle{\rm AST}=180^\circ-80^\circ$$$$\hspace{ 10 pt}2 \angle{\rm AST}=100^\circ$$両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt} \angle{\rm AST}=50^\circ$$
よって、答えは$$~~~ \angle{\rm AST}=50^\circ$$となります。

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\angle{\rm SIT}$$

四角形 ${\rm ASOT}$ において、円と接線の性質より、
$$~~~\angle{\rm ISA}=\angle{\rm ITA}=90^\circ$$よって、四角形 ${\rm ASOT}$ の内角の和より、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm SAT}+\angle{\rm ISA}+\angle{\rm ITA}+\angle{\rm SIT}=360^\circ$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}80^\circ+90^\circ+90^\circ+\angle{\rm SIT}=360^\circ$$$$\hspace{ 10 pt}260^\circ +\angle{\rm SIT}=360^\circ$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm SIT}=360^\circ-260^\circ$$$$\hspace{ 37 pt}=100^\circ$$
よって、答えは$$~~~\angle{\rm SIT}=100^\circ$$となります。