数学Ｂ｜等差数列と公差・一般項の求め方とコツ | ページ 2

等差数列の解法
問題解説：等差数列
今回のまとめ

等差数列の解法

Point：等差数列数列 $\{a_n\}$ について、それぞれの項に定数 $d$ を加えると次の項が得られるとき、この数列を等差数列といい $d$ を公差といいます。
$~~~\{a_n\}=\{~a_1~~,~~a_2~~,~~a_3~~,~~\cdot~\cdot~\cdot~~,~~a_n~\}$
$\hspace{ 55 pt}$ $\overset{\smile}{+d}$$\hspace{ 8 pt}$ $\overset{\smile}{+d}$$\hspace{ 6 pt}$ $\overset{\smile}{+d}$$~\cdot~\cdot ~\cdot~$ $\overset{\smile}{+d}$
ここで、$$~~~a_2=a_1+d$$$$~~~a_3=a_1+d+d=a_1+2d$$$$~~~a_4=a_1+d+d+d=a_1+3d$$これらが成り立つことより、第 $n$ 項は初項から公差を $n-1$ 回加えたものとなるので、

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

となります。

問題解説：等差数列

問題解説(1)

問題次の数列の一般項と第５項を求めよ。
${\small (1)}$ 初項が $1$、公差が $3$

初項 $a=1$、公差 $d=3$ であり、一般項（第 $n$ 項）は初項から公差を $n-1$ 回加えたものとなるので、$$~~~a_n=1+(n-1)\cdot3$$$$\hspace{ 21 pt}=1+3n-3$$$$\hspace{ 21 pt}=3n-2$$また、第５項は、$n=5$ のときであるので、$$~~~a_5=3\cdot5-2$$$$\hspace{ 20 pt}=15-2$$$$\hspace{ 20 pt}=13$$よって、答えは$$~~~a_n=3n-2~,~a_5=13$$となります。

問題解説(2)

問題次の数列の一般項と第５項を求めよ。
${\small (2)}$ 公差が $2$、第10項が $23$

初項を $a$ とすると、第10項は初項 $a$ から公差 $2$ を $10-1=9$ 回加えたものとなるので、$$~~~a_{10}=a+9\cdot2$$$$\hspace{ 24 pt}=a+18$$また、第10項は $a_{10}=23$ であることより、$$~~~a+18=23$$移項すると、$$\hspace{ 25 pt}a=23-18$$$$\hspace{ 25 pt}a=5$$よって、一般項（第 $n$ 項）は初項 $5$ から公差 $2$ を $n-1$ 回加えたものとなるので、$$~~~a_n=5+(n-1)\cdot2$$$$\hspace{ 21 pt}=5+2n-2$$$$\hspace{ 21 pt}=2n+3$$また、第５項は、$n=5$ のときであるので、$$~~~a_5=2\cdot5+3$$$$\hspace{ 20 pt}=10+3$$$$\hspace{ 20 pt}=13$$よって、答えは$$~~~a_n=2n+3~,~a_5=13$$となります。

問題解説(3)

問題次の数列の一般項と第５項を求めよ。
${\small (3)}$ 初項が $50$、第10項が $23$

公差を $d$ とすると、第10項は初項 $50$ から公差 $d$ を $10-1=9$ 回加えたものとなるので、$$~~~a_{10}=50+9\cdot d$$$$\hspace{ 24 pt}=9d+50$$第10項は $a_{10}=23$ であることより、$$~~~9d+50=23$$移項して、両辺を $9$ で割ると、$$\hspace{ 30 pt}9d=23-50$$$$\hspace{ 30 pt}9d=-27$$$$\hspace{ 36 pt}d=-3$$よって、一般項（第 $n$ 項）は初項 $50$ から公差 $-3$ を $n-1$ 回加えたものとなるので、$$~~~a_n=50+(n-1)\cdot(-3)$$$$\hspace{ 21 pt}=50-3n+3$$$$\hspace{ 21 pt}=-3n+53$$また、第５項は、$n=5$ のときであるので、$$~~~a_5=-3\cdot5+53$$$$\hspace{ 20 pt}=-15+53$$$$\hspace{ 20 pt}=38$$よって、答えは$$~~~a_n=-3n+53~,~a_5=38$$となります。

問題解説(4)

問題次の数列の一般項と第５項を求めよ。
${\small (4)}$ 第4項が $7$、第10項が $-5$

初項を $a$、公差を $d$ とすると、第４項は、初項 $a$ から公差 $d$ を $4-1=3$ 回加えたものとなるので、$$~~~a_4=a+3d$$第４項は $a_4=7$ であることより、$$~~~a+3d=7~\cdots①$$
第10項は、初項 $a$ から公差 $d$ を $10-1=9$ 回加えたものとなるので、$$~~~a_{10}=a+9d$$第10項は $a_{10}=-5$ であることより、$$~~~a+9d=-5~\cdots②$$
②−①より、$$\hspace{ 10 pt}(a+9d)-(a+3d)=-5-7$$$$\hspace{ 26 pt}a+9d-a-3d=-12$$$$\hspace{ 85 pt}6d=-12$$両辺を $6$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}d=-2$$①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}a+3\cdot(-2)=7$$$$\hspace{ 38 pt}a-6=7$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}a=7+6$$$$\hspace{ 10 pt}a=13$$

よって、一般項（第 $n$ 項）は初項 $13$ から公差 $-2$ を $n-1$ 回加えたものとなるので、$$~~~a_n=13+(n-1)\cdot(-2)$$$$\hspace{ 21 pt}=13-2n+2$$$$\hspace{ 21 pt}=-2n+15$$また、第５項は、$n=5$ のときであるので、$$~~~a_5=-2\cdot5+15$$$$\hspace{ 20 pt}=-10+15$$$$\hspace{ 20 pt}=5$$よって、答えは$$~~~a_n=-2n+15~,~a_5=5$$となります。