数学Ｂ｜等比数列と公比・一般項の求め方とコツ | ページ 2

等比数列の解法
問題解説：等比数列
今回のまとめ

等比数列の解法

Point：等比数列数列 $\{a_n\}$ について、それぞれの項に定数 $r$ をかけると次の項が得られるとき、この数列を等比数列といい、$r$ を公比といいます。
$~~~\{a_n\}=\{~a_1~~,~~a_2~~,~~a_3~~,~~\cdot~\cdot~\cdot~~,~~a_n~\}$
$\hspace{ 55 pt}$ $\overset{\smile}{\times r}$$\hspace{ 8 pt}$ $\overset{\smile}{\times r}$$\hspace{ 6 pt}$ $\overset{\smile}{\times r}$$~\cdot~\cdot ~\cdot~$ $\overset{\smile}{\times r}$
ここで、$$~~~a_2=a_1 \times r=a_1 \cdot r$$$$~~~a_3=a_1 \times r \times r=a_1\cdot r^2$$$$~~~a_4=a_1 \times r \times r \times r =a_1 \cdot r^3$$これらが成り立つことより、第 $n$ 項は初項から公比を $n-1$ 回かけたものとなるので、

$$a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$$

となります。

問題解説：等比数列

問題解説(1)

問題次の数列の一般項と第６項を求めよ。
${\small (1)}$ 初項が $3$、公比が$2$

初項 $a_1=3$、公比 $r=2$ であり、一般項（第 $n$ 項）は初項から公比を $n-1$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=3\cdot 2^{n-1}$$
また、第６項は $n=6$ のときであるので、$$~~~a_6=3\cdot 2^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=3\cdot 2^5$$$$\hspace{ 20 pt}=3\cdot32$$$$\hspace{ 20 pt}=96$$よって、答えは $a_n=3\cdot 2^{n-1}~,~a_6=96$ となります。

問題解説(2)

問題次の数列の一般項と第６項を求めよ。
${\small (2)}$ 公比が $3$、第4項が $135$

初項を $a$ とすると、
第4項は、初項 $a$ から公比 $3$ を $4-1=3$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_4=a\cdot 3^3$$$$\hspace{ 20 pt}=27a$$また、第4項は $a_4=135$ であることより、$$~~~27a=135$$両辺を $27$ で割ると、$$\hspace{ 18 pt}a=5$$よって、一般項（第 $n$ 項）は初項 $5$ から公比 $3$ を $n-1$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=5\cdot 3^{n-1}$$
また、第６項は $n=6$ のときであるので、$$~~~a_6=5\cdot 3^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot 3^5$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot243$$$$\hspace{ 20 pt}=1215$$よって、答えは $a_n=5\cdot 3^{n-1}~,~a_6=1215$ となります。

問題解説(3)

問題次の数列の一般項と第６項を求めよ。
${\small (3)}$ 初項が $24$、第3項が $6$

公比を $r$ とすると、
第3項は、初項 $24$ から公比 $r$ を $3-1=2$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_3=24\cdot r^2$$$$\hspace{ 20 pt}=24r^2$$また、第3項は $a_3=6$ であることより、$$~~~24r^2=6$$両辺を $24$ で割ると、$$\hspace{ 18 pt}r^2=\frac{1}{4}$$$$\hspace{ 22 pt}r=\pm\frac{1}{2}$$

( ⅰ ) $r={\Large \frac{1}{2}}$ のとき、
一般項（第 $n$ 項）は初項 $24$ から公比 ${\Large \frac{1}{2}}$ を $n-1$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=24\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$
また、第６項は $n=6$ のときであるので、$$~~~a_6=24\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot \frac{1}{32}$$$$\hspace{ 20 pt}=\frac{3}{4}$$
( ⅱ ) $r=-{\Large \frac{1}{2}}$ のとき、
一般項（第 $n$ 項）は初項 $24$ から公比 $-{\Large \frac{1}{2}}$ を $n-1$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$
また、第６項は $n=6$ のときであるので、$$~~~a_6=24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot \left(-\frac{1}{32}\right)$$$$\hspace{ 20 pt}=-\frac{3}{4}$$

よって、( ⅰ )と( ⅱ )より答えは、$$~~~a_n=24\cdot \left( \frac{1}{2}\right)^{n-1}~,~a_6=\frac{3}{4}$$または$$~~~a_n=24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}~,~a_6=-\frac{3}{4}$$となります。

問題解説(4)

問題次の数列の一般項と第６項を求めよ。
${\small (4)}$ 第2項が $12$、第5項が $96$

初項を$a$、公比を $r$ とすると、
第2項は、初項から公比を $2-1=1$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_2=a\cdot r^1$$$$\hspace{ 20 pt}=ar$$また、第2項は $a_2=12$ であることより、$$~~~ar=12~\cdots①$$

第5項は、初項から公比を $5-1=4$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_2=a\cdot r^4$$$$\hspace{ 20 pt}=ar^4$$また、第5項は $a_5=96$ であることより、$$~~~ar^4=96~\cdots②$$

②÷①より、両辺をそれぞれわり算すると、$$~~~\frac{ar^4}{ar}=\frac{96}{12}$$左辺は $ar$ で、右辺は $12$ で約分すると、$$\hspace{ 17 pt} r^3=8$$$$\hspace{ 21 pt}r=2$$また①に代入すると、$$~~~a\cdot2=12$$両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}a=6$$
一般項（第 $n$ 項）は初項 $6$ から公比 $2$ を $n-1$ 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=6\cdot 2^{n-1}$$
また、第６項は $n=6$ のときであるので、$$~~~a_6=6\cdot 2^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=6\cdot 2^5$$$$\hspace{ 20 pt}=6\cdot32$$$$\hspace{ 20 pt}=192$$よって、答えは $a_n=6\cdot 2^{n-1}~,~a_6=192$ となります。