シグマ記号の計算

2018.05.122020.06.09

シグマ記号の計算
問題解説：シグマ記号の計算
今回のまとめ

シグマ記号の計算

Point：シグマ記号の公式(1) $c$ は $k$ に関係のない定数のとき、

$$\sum_{k=1}^{n} c=nc$$

この式は、$c$ が $k$ に関係のない定数なので、すべての項が $c$ となり、$c$ が $n$ 項あるので、和が $nc$ となります。
また、$c=1$ のとき、

$$\sum_{k=1}^{n} 1=n$$

(2) 一般項が $a_n=n$ のとき、

$$\sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)$$

(3) 一般項が $a_n=n^2$ のとき、

$$\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

(4) 一般項が $a_n=n^3$ のとき、

$$\sum_{k=1}^{n} k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$$

(5) 一般項が $a_n=r^n$ のとき、

$$\sum_{k=1}^{n} r^k=\frac{r(1-r^n)}{1-r}~~(r\neq1)$$

この数列の和は初項 $r$、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和となります。

Point：シグマ記号の性質

(6) $a_n~,~b_n$ について、

$$\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$$

(7) $p$ は $k$ に関係のない定数として、

$$\sum_{k=1}^{n}pa_k=p\cdot \sum_{k=1}^{n}a_k$$

この２つの性質を用いて、シグマの式を分解してそれぞれで公式を用いて計算しましょう。

問題解説：シグマ記号の計算

問題解説(1)

問題次の和を求めよ。$${\small (1)}~\sum_{k=1}^{20}(4k+3)$$

$$~~~~~~\sum_{k=1}^{20}(4k+3)$$$$~=4\sum_{k=1}^{20}k+\sum_{k=1}^{20}3$$それぞれ公式を用いると、$$~=4\cdot\frac{1}{2}\cdot20\cdot(20+1)+3\cdot20$$$$~=40\cdot21+60$$$$~=840+60$$$$~=900$$よって、答えは $900$ となります。

問題解説(2)

問題次の和を求めよ。$${\small (2)}~\sum_{k=1}^{5}(k^3-k^2)$$

$$~~~~~~\sum_{k=1}^{5}(k^3-k^2)$$$$~=\sum_{k=1}^{5}k^3-\sum_{k=1}^{5}k^2$$それぞれ公式を用いると、$$~=\left\{ \frac{1}{2}\cdot5\cdot(5+1) \right\}^2$$$$\hspace{50pt}-\frac{1}{6}\cdot5\cdot(5+1)(2\cdot5+1)$$$$~=\left(\frac{1}{2}\cdot5\cdot6\right)^2-\frac{1}{6}\cdot5\cdot6\cdot(10+1)$$$$~=15^2-5\cdot11$$$$~=225-55$$$$~=170$$よって、答えは $170$ となります。

問題解説(3)

問題次の和を求めよ。$${\small (3)}~\sum_{k=1}^{10}2^k$$

$$~~~~~~\sum_{k=1}^{10}2^k$$初項 $2$、公比 $2$、項数 $10$ の等比数列の和となるので、$$~=\frac{2\cdot(2^{10}-1)}{2-1}$$$$~=2\cdot(1024-1)$$$$~=2\cdot1023$$$$~=2046$$よって、答えは $2046$ となります。

問題解説(4)

問題次の和を求めよ。$${\small (4)}~\sum_{k=1}^{n} k(3k+1)$$

$$~~~~~~\sum_{k=1}^{n} k(3k+1)$$$$~=\sum_{k=1}^{n} (3k^2+k)$$$$~=3\sum_{k=1}^{n} k^2+\sum_{k=1}^{n} k$$それぞれ公式を用いると、$$~=3\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$$$$~=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$$共通因数をくくると、$$~=\frac{1}{2}n(n+1)\{(2n+1)+1\}$$$$~=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+2)$$$$~=\frac{1}{2}n(n+1)\cdot2\cdot(n+1)$$$$~=n(n+1)^2$$よって、答えは $n(n+1)^2$ となります。

問題解説(5)

問題次の和を求めよ。$${\small (5)}~\sum_{k=1}^{n} (2k^2-4k-3)$$

$$~~~~~~\sum_{k=1}^{n} (2k^2-4k-3)$$$$~=2\sum_{k=1}^{n} k^2-4\sum_{k=1}^{n} k-\sum_{k=1}^{n} 3$$それぞれ公式を用いると、$$~=2\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$$$\hspace{50pt}-4\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-3n$$$$~=\frac{1}{3}n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-3n$$$$~=\frac{1}{3}n(n+1)(2n+1)$$$$\hspace{50pt}-\frac{3}{3}\cdot2n(n+1)-\frac{3}{3}\cdot3n$$共通因数でくくると、$$~=\frac{1}{3}n\{ (n+1)(2n+1)-6(n+1)-9 \}$$括弧の中を一度展開して整理すると、$$~=\frac{1}{3}n(2n^2+3n+1-6n-6-9)$$$$~=\frac{1}{3}n(2n^2-3n-14)$$因数分解すると、$$~=\frac{1}{3}n(2n-7)(n+2)$$よって、答えは ${\Large \frac{1}{3}}n(2n-7)(n+2) $となります。