群数列の第n群の最初の項と第n群の和

群の番号を \(n\) 、初項から数えた項の順番を \(l\) とすると、数列は等差数列であり、\(a_l=2l\) である

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\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~1~~|~~~~~2~~~~|~~~~~~~~~3~~~~~~~~~|~~~4
\\[1pt]l~&~|~&~1~~|~~2~~~3~~|~~4~~~~~5~~~~6~~~|~~~7~~~
\\[1pt]a_l~&~|~&~2~~|~~4~~~6~~|~~8~~~10~~~12~~|~~14~~~
\end{eqnarray}\)

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また、各群には群番号と同じく \(n\) 個の項があるので、

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\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、自然数の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+(n-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n
\end{eqnarray}\)

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よって、第 \(n\) 群の最初の項は、初項から数えて、

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第 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n+1\) 項となるので、

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\(l=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n+1\) として、\(a_l=2l\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&2\cdot\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)n+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&(n-1)n+2
\\[5pt]~~~&=&n^2-n+2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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ここで、\(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

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　\(1^2-1+2=2\)

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これは第 \(1\) 群の最初の項より、\(n=1\) のときも成り立つ

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したがって、第 \(n\) 群の最初の項は \(n^2-n+2\) となる

 
 

次に、第 \(n\) 群のすべての項の和は、

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最初の項が \(n^2-n+2\) であり、公差 \(2\)、項数 \(n\) となるので、等差数列の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\cdot\left\{\,2(n^2-n+2)+(n-1)\cdot 2\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,\left(2n^2-2n+4+2n-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(2n^2+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\cdot 2\,(n^2+1)
\\[5pt]~~~&=&n(n^2+1)
\end{eqnarray}\)

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したがって、第 \(n\) 群のすべての項の和は \(n(n^2+1)\) となる