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ベクトルの成分と式変形

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今回の問題は「ベクトルの成分と式変形」です。

問題次の \(\overrightarrow{a}\) \(,\) \(\overrightarrow{b}\) \(,\) \(\overrightarrow{c}\) について、以下の問いに答えよ。$$~~~~~~\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)$$$$~~~~~~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)$$\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a} +2\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) を満たす \(\overrightarrow{d}\) の成分を求めよ。
\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{c}\) を \(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\) の形で表せ。

 

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ベクトルの相等と分解

Point:ベクトルの相等2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) の成分が$$~~~\overrightarrow{a}=(x_a~,~y_a)~,~\overrightarrow{b}=(x_b~,~y_b)$$のとき、$$~~~\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$$が成り立つとき、$$~~~\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \end{array}\right)$$よって、

$$x_a=x_b~,~y_a=y_b$$

Point:ベクトルの分解

2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) がそれぞれ \(\overrightarrow{0}\) でなく平行でないとき、任意のベクトル \(\overrightarrow{p}\) は次のただ1通りで表すことができます。
\(s~,~t\) を実数とすると、

$$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$

これは、ベクトルの成分の演算でも用いることができます。

 

問題解説:ベクトルの成分と式変形

問題解説(1)

問題次の \(\overrightarrow{a}\) \(,\) \(\overrightarrow{b}\) \(,\) \(\overrightarrow{c}\) について、以下の問いに答えよ。$$~~~~~~\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)$$$$~~~~~~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)$$\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a} +2\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) を満たす \(\overrightarrow{d}\) の成分を求めよ。

$$\hspace{ 10 pt} \overrightarrow{a} +2\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$\(\overrightarrow{a}\) を移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2\overrightarrow{d}=-\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$ここで、成分の計算をすると、$$\hspace{ 10 pt}2\overrightarrow{d}=-\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)+3\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 30 pt}= \left(\begin{array} {c} -1 \\ -3 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -6 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -3 \\ 5 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 30 pt}=\left(\begin{array} {c} -1-6-3 \\ -3+3+5 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 30 pt}=\left(\begin{array} {c} -10 \\ 5 \end{array}\right)$$よって、両辺を \(2\) で割ると$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{d}=\frac{1}{2}\left(\begin{array} {c} -10 \\ 5 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 25 pt}=\left(\begin{array} {c} -5 \\ {\Large \frac{5}{2}} \end{array}\right)$$
答えは$$~~~\overrightarrow{d}=\left( -5~,~\frac{5}{2} \right)$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{c}\) を \(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\) の形で表せ。

$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$$ベクトルの成分の計算をすると、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)=m\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)+n\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} m \\ 3m \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -2n \\ n \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} m-2n \\ 3m+n \end{array}\right)$$よって、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} 3=m-2n~~~\cdots{\Large ①} \\ -5=3m+n~~~\cdots{\Large ②} \end{eqnarray}$$①+②×2より、$$\hspace{ 10 pt}3-5\times2=(m-2n)+(3m+n)\times2$$$$\hspace{ 22 pt}3-10=m-2n+6m+2n$$$$\hspace{ 40 pt}-7=7m$$両辺を入れ替えて、\(7\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}7m=13$$$$\hspace{ 15 pt}m=-1$$
また、①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3=-1-2n$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2n=-1-3$$$$\hspace{ 10 pt}2n=-4$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}n=-2$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$となります。

 

今回のまとめ

ベクトルの成分の式変形では、成分の演算とベクトルの相等を用いて方程式を作り解いていきましょう。

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