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ベクトルの成分と大きさ

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今回の問題は「ベクトルの成分と大きさ」です。

問題次の \(\overrightarrow{a}\) \(,\) \(\overrightarrow{b}\) \(,\) \(\overrightarrow{c}\) について、以下の問いに答えよ。$$~~~~~~\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)$$$$~~~~~~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)$$\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a}\) の大きさを求めよ。
\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{c}\) の大きさを求めよ。
\({\small (3)}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) を成分で表し、大きさを求めよ。
\({\small (4)}\) \(2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。

 

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ベクトルの成分と大きさの解法

Point:ベクトルの成分と大きさ$$~~~\overrightarrow{a}=(x_a~,~y_a)$$このとき、ベクトル \(\overrightarrow{a}\) の大きさ \(|\overrightarrow{a}|\) を次の式で表します。

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2}$$

Point:成分によるベクトルの演算

\(k~,~l\) を実数として、2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) について、$$~~~\overrightarrow{a}=(x_a~,~y_a)~,~\overrightarrow{b}=(x_b~,~y_b)$$のとき、$$~~~~~~k\overrightarrow{a}\pm l\overrightarrow{b}$$$$~=k \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array}\right)\pm l \left(\begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array}\right)$$$$~= \left(\begin{array}{c} k x_a\pm lx_b \\ ky_a\pm ly_b \end{array}\right)$$

ここでは、成分を横書きではなく縦書きで表記します。サイト上での見やすさを重視しています。
答えは書くときは学校で指定された表記で書きましょう。

 

問題解説:ベクトルの成分と大きさ

問題解説(1)

問題次の \(\overrightarrow{a}\) \(,\) \(\overrightarrow{b}\) \(,\) \(\overrightarrow{c}\) について、以下の問いに答えよ。$$~~~~~~\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)$$$$~~~~~~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)$$\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a}\) の大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{a}=(1~,~3)\) より、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}|$$$$~=\sqrt{1^2+3^2}$$$$~=\sqrt{1+9}$$$$~=\sqrt{10}$$
よって、答えは \(\sqrt{10}\) となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{c}\) の大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{c}=(3~,~-5)\) より、$$~~~~~~|\overrightarrow{c}|$$$$~=\sqrt{3^2+(-5)^2}$$$$~=\sqrt{9+25}$$$$~=\sqrt{34}$$
よって、答えは \(\sqrt{34}\) となります。

 

問題解説(3)

問題\({\small (3)}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) を成分で表し、大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)\) より、$$~~~~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$$$~=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 1-2 \\ 3+1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 4 \end{array}\right)$$よって、$$~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-1~,~4)$$
また、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{(-1)^2+4^2}$$$$~=\sqrt{1+16}$$$$~=\sqrt{17}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-1~,~4)$$$$~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{17}$$となります。

 

問題解説(4)

問題\({\small (4)}\) \(2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{b}=(-2~,~1)~,~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)\) より、$$~~~~~~2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$$$~=2 \left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -4 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -4-3 \\ 2+5 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -7 \\ 7 \end{array}\right)$$よって、$$~~~2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(-7~,~7)$$
また、$$~~~~~~|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$$$$~=\sqrt{(-7)^2+7^2}$$$$~=\sqrt{49+49}$$$$~=\sqrt{98}$$$$~=7\sqrt{2}$$
よって、答えは$$~~~2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(-7~,~7)$$$$~~~|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|=2\sqrt{7}$$となります。

 

今回のまとめ

ベクトルの成分演算は \(x\) 成分と \(y\) 成分のそれぞれで計算していきましょう。また、ベクトルの大きさの求め方も2点間の距離の公式としておさえておきましょう。

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