ベクトルの成分と大きさの解法
\(k~,~l\) を実数として、２つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) について、$$~~~\overrightarrow{a}=(x_a~,~y_a)~,~\overrightarrow{b}=(x_b~,~y_b)$$のとき、$$~~~~~~k\overrightarrow{a}\pm l\overrightarrow{b}$$$$~=k \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array}\right)\pm l \left(\begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array}\right)$$$$~= \left(\begin{array}{c} k x_a\pm lx_b \\ ky_a\pm ly_b \end{array}\right)$$
ここでは、成分を横書きではなく縦書きで表記します。サイト上での見やすさを重視しています。
答えは書くときは学校で指定された表記で書きましょう。
問題解説：ベクトルの成分と大きさ
問題解説(1)
\(\overrightarrow{a}=(1~,~3)\) より、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}|$$$$~=\sqrt{1^2+3^2}$$$$~=\sqrt{1+9}$$$$~=\sqrt{10}$$
よって、答えは \(\sqrt{10}\) となります。
問題解説(2)
\(\overrightarrow{c}=(3~,~-5)\) より、$$~~~~~~|\overrightarrow{c}|$$$$~=\sqrt{3^2+(-5)^2}$$$$~=\sqrt{9+25}$$$$~=\sqrt{34}$$
よって、答えは \(\sqrt{34}\) となります。
問題解説(3)
\(\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)\) より、$$~~~~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$$$~=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 1-2 \\ 3+1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 4 \end{array}\right)$$よって、$$~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-1~,~4)$$
また、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{(-1)^2+4^2}$$$$~=\sqrt{1+16}$$$$~=\sqrt{17}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-1~,~4)$$$$~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{17}$$となります。
問題解説(4)
\(\overrightarrow{b}=(-2~,~1)~,~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)\) より、$$~~~~~~2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$$$~=2 \left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -4 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -4-3 \\ 2+5 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -7 \\ 7 \end{array}\right)$$よって、$$~~~2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(-7~,~7)$$
また、$$~~~~~~|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$$$$~=\sqrt{(-7)^2+7^2}$$$$~=\sqrt{49+49}$$$$~=\sqrt{98}$$$$~=7\sqrt{2}$$
よって、答えは$$~~~2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(-7~,~7)$$$$~~~|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|=7\sqrt{2}$$となります。
今回のまとめ
ベクトルの成分演算は \(x\) 成分と \(y\) 成分のそれぞれで計算していきましょう。また、ベクトルの大きさの求め方も２点間の距離の公式としておさえておきましょう。
