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ベクトルの分解(正六角形のベクトル)

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今回の問題は「ベクトルの分解(正六角形のベクトル)」です。

問題次の正六角形 \({\rm ABCDEF}\) と対角線の交点 \({\rm O}\) について、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{x}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{y}\) とするとき、次のベクトルを \(\overrightarrow{ x}~,~\overrightarrow{y}\) で表せ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OC}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OB}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AO}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm BF}$$$${\small (5)}~\overrightarrow{\rm BE}$$$${\small (6)}~\overrightarrow{\rm BD}$$

 

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ベクトルの分解の解法

Point:ベクトルの分解2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) がそれぞれ \(\overrightarrow{0}\) でなく平行でないとき、任意のベクトル \(\overrightarrow{p}\) は次のただ1通りで表すことができます。
\(s~,~t\) を実数とすると、

$$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$

 

問題解説:ベクトルの分解(正六角形のベクトル)

問題解説(1)

問題次の正六角形 \({\rm ABCDEF}\) と対角線の交点 \({\rm O}\) について、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{x}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{y}\) とするとき、次のベクトルを \(\overrightarrow{ x}~,~\overrightarrow{y}\) で表せ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OC}$$

図に表すと、

\(\overrightarrow{\rm OC}\) は \(\overrightarrow{\rm AB}\) を平行移動したベクトルとなるので、$$~~~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{x}$$となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OB}$$

図に表すと、

\(\overrightarrow{\rm OB}\) は \(\overrightarrow{\rm AF}\) を平行移動して向きを反対にしたベクトルとなるので、$$~~~\overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{y}$$となります。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AO}$$

図に表すと、

平行四辺形 \({\rm ABOF}\) において、\(\overrightarrow{\rm AO}\) は対角線のベクトルとなるので、$$~~~\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AF}$$よって、$$~~~\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$$となります。

 

問題解説(4)

問題$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm BF}$$

図に表すと、

\(\overrightarrow{\rm BF}\) はベクトルの差を考えると、$$~~~\overrightarrow{\rm BF}=\overrightarrow{\rm AF}-\overrightarrow{\rm AB}$$よって、$$~~~\overrightarrow{\rm BF}=\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}$$となります。

【別解】
\(\overrightarrow{\rm BF}\) は \(\overrightarrow{\rm BA}~,~\overrightarrow{\rm AF}\) と進んで行けるので、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BF}=\overrightarrow{\rm BA}+\overrightarrow{\rm AF}$$$$\hspace{ 27 pt}=-\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AF}$$よって、$$~~~\overrightarrow{\rm BF}=-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$$となります。

 

問題解説(5)

問題$${\small (5)}~\overrightarrow{\rm BE}$$

図に表すと、

\(\overrightarrow{\rm BE}\) は \(\overrightarrow{\rm BO}~,~\overrightarrow{\rm OE}\) と進んで行けるので、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BE}=\overrightarrow{\rm BO}+\overrightarrow{\rm OE}$$ここで、\(\overrightarrow{\rm BO}~,~\overrightarrow{\rm OE}\) はそれぞれ \(\overrightarrow{\rm AF}\) を平行移動したベクトルとなるので、$$~~~\overrightarrow{\rm BO}=\overrightarrow{\rm OE}=\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{y}$$よって、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BE}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y}$$$$\hspace{ 27 pt}=2\overrightarrow{y}$$答えは$$~~~\overrightarrow{\rm BE}=2\overrightarrow{y}$$となります。

 

問題解説(6)

問題$${\small (6)}~\overrightarrow{\rm BD}$$

図に表すと、

\(\overrightarrow{\rm BD}\) は \(\overrightarrow{\rm BC}~,~\overrightarrow{\rm CD}\) と進んで行けるので、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BD}=\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}$$
ここで、\(\overrightarrow{\rm BC}\) は \(\overrightarrow{\rm AO}\) を平行移動したベクトルとなるので、(3)の答えより、$$~~~\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$$
また、\(\overrightarrow{\rm CD}\) は \(\overrightarrow{\rm AF}\) を平行移動したベクトルより、$$~~~\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{y}$$
よって、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BD}=(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})+\overrightarrow{y}$$$$\hspace{ 27 pt}=\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$$
答えは$$~~~\overrightarrow{\rm BD}=\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$$となります。

 

今回のまとめ

正六面体のベクトルは、正六面体の性質を利用して、与えられたベクトルを2つの基本ベクトルで表すように式変形していきましょう。

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