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ベクトルの演算

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今回の問題は「ベクトルの演算」です。

問題次の式を簡単にせよ。$${\small (1)}~( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) +( 3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b} )$$$${\small (2)}~( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )-( 3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b} )$$$${\small (3)}~2( \overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} )-( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )$$$${\small (4)}~3( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} )+2( \overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b} )$$

 

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ベクトルの演算の解法

Point:ベクトルの演算文字式のときと同様に計算できます。
\(k~,~l\) を実数とするとき、

$$~{\small (1)}~k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}$$$$~{\small (2)}~(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}$$$$~{\small (3)}~k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}~~$$

 

問題解説:ベクトルの演算

問題解説(1)

問題次の式を簡単にせよ。$${\small (1)}~( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) +( 3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b} )$$

$$~~~~~~( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) +( 3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b} )$$カッコを外すと、$$~=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} +3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}$$\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) をそれぞれまとめると、$$~=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{b}$$$$~=5\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$$
よって、答えは \(5\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を簡単にせよ。 $${\small (2)}~( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )-( 3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b} )$$

$$~~~~~~( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )-( 3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b} )$$カッコを外すと、$$~=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} -3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$$\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) をそれぞれまとめると、$$~=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{b}$$$$~=-\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}$$
よって、答えは \(-\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の式を簡単にせよ。 $${\small (3)}~2( \overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} )-( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )$$

$$~~~~~~2( \overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} )-( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )$$分配法則より、カッコを外すと、$$~=2\overrightarrow{a}-2\cdot3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$$$~=2\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) をそれぞれまとめると、$$~=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}$$$$~=\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}$$
よって、答えは \(\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}\) となります。

 

問題解説(4)

問題次の式を簡単にせよ。 $${\small (4)}~3( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} )+2( \overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b} )$$

$$~~~~~~3( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} )+2( \overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b} )$$分配法則より、カッコを外すと、$$~=3\overrightarrow{b}+3(-\overrightarrow{c})+2\overrightarrow{a}+2(-5\overrightarrow{b})$$$$~=3\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}-10\overrightarrow{b}$$それぞれまとめると、$$~=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-10\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$$$$~=2\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$$
よって、答えは \(2\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\) となります。

 

今回のまとめ

ベクトルの演算は、加法減法は文字式と同じように計算しましょう。また、定数の分配法則などもおさえておきましょう。

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