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ベクトルの等式証明

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今回の問題は「ベクトルの等式証明」です。

問題4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) について、次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AD}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm CB}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{0}$$

 

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ベクトルの等式証明

Point:ベクトルの等式証明次の性質を利用して証明していきます。
(1) 逆ベクトル

$$\overrightarrow{\rm AB}=-\overrightarrow{\rm BA}$$

始点と終点を入れ替えると逆ベクトルとなります。
 
(2) ベクトルの加法
2つのベクトルの終点と始点が同じ点であれば、次の式を用いて1つのベクトルで表すことができます。

$$\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AC}$$

 
(3) 零ベクトル

$$~~~\overrightarrow{\rm AA}=\overrightarrow{0}$$

始点と終点が同じベクトルは、その点から動いていないので零ベクトル \(\overrightarrow{0}\) として考えます。

 

問題解説:ベクトルの等式証明

問題解説(1)

問題4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) について、次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AD}$$

[証明]
左辺について、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}$$ここで、\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm B}\) となるので、$$~=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CD}$$$$~=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CD}$$次に、\(\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CD}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm C}\) となるので$$~=(\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CD})$$$$~=\overrightarrow{\rm AD}$$よって、右辺と同じになるので、$$~~~\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AD}$$[終]

 

問題解説(2)

問題4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) について、次の等式を証明せよ。 $${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm CB}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{0}$$

[証明]
左辺について、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm CB}+\overrightarrow{\rm CD}$$逆ベクトルを考えると、$$~~~-\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm DA}~,~-\overrightarrow{\rm CB}=\overrightarrow{\rm BC}$$これらを用いると、$$~=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm DA}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}$$次に順番を入れ替えると、$$~=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA}$$ここで、\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm B}\) となり、\(\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm D}\) となるので、$$~=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+(\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA})$$$$~=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}$$次に、\(\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm C}\) となるので、$$~=(\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA})$$$$~=\overrightarrow{\rm AA}$$始点と終点が同じ点であるので、零ベクトルとなり、$$~=\overrightarrow{0}$$よって、右辺を同じになるので、$$~~~\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm CB}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{0}$$[終]

 

今回のまとめ

ベクトルの等式証明では、逆ベクトルの考え方やベクトルの加法、零ベクトルを用いて証明していくことを覚えておきましょう。

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