ベクトルの等式証明
(1) 逆ベクトル
始点と終点を入れ替えると逆ベクトルとなります。
(2) ベクトルの加法
２つのベクトルの終点と始点が同じ点であれば、次の式を用いて１つのベクトルで表すことができます。
(3) 零ベクトル
始点と終点が同じベクトルは、その点から動いていないので零ベクトル \(\overrightarrow{0}\) として考えます。
問題解説：ベクトルの等式証明
問題解説(1)
[証明]
左辺について、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}$$ここで、\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm B}\) となるので、$$~=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CD}$$$$~=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CD}$$次に、\(\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CD}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm C}\) となるので$$~=(\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CD})$$$$~=\overrightarrow{\rm AD}$$よって、右辺と同じになるので、$$~~~\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AD}$$[終]
問題解説(2)
[証明]
左辺について、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm CB}+\overrightarrow{\rm CD}$$逆ベクトルを考えると、$$~~~-\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm DA}~,~-\overrightarrow{\rm CB}=\overrightarrow{\rm BC}$$これらを用いると、$$~=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm DA}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}$$次に順番を入れ替えると、$$~=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA}$$ここで、\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm B}\) となり、\(\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm D}\) となるので、$$~=(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+(\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DA})$$$$~=\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}$$次に、\(\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\) は終点と始点が同じ点 \({\rm C}\) となるので、$$~=(\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA})$$$$~=\overrightarrow{\rm AA}$$始点と終点が同じ点であるので、零ベクトルとなり、$$~=\overrightarrow{0}$$よって、右辺を同じになるので、$$~~~\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm CB}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{0}$$[終]
今回のまとめ
ベクトルの等式証明では、逆ベクトルの考え方やベクトルの加法、零ベクトルを用いて証明していくことを覚えておきましょう。
