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点の座標とベクトルの成分

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今回の問題は「点の座標とベクトルの成分」です。

問題4点 \({\rm O}(0~,~0)\) \(,\) \({\rm A}(3~,~4)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~-1)\) \(,\) \({\rm C}(-3~,~2)\) について、次のベクトルを成分で表し、その大きさを求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OA}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OB}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AC}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm BC}$$

 

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点の座標とベクトルの成分

Point:点の座標とベクトルの成分平面上の点 \({\rm A}(x_a~,~y_a)\) \(,\) \({\rm B}(x_b~,~y_b)\) において、
ベクトル \(\overrightarrow{\rm OA}\) の成分は、

$$\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \end{array}\right)$$

その大きさは、

$$|\overrightarrow{\rm OA}|=\sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2}$$

 
また、2点を結ぶ線分のベクトル \(\overrightarrow{\rm AB}\) は、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} x_b-x_a \\ y_b-y_b \end{array}\right)$$成分を求めるときは、「終点-始点」と計算すると覚えておきましょう。
また、その大きさは、

$$|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$$

 

問題解説:点の座標とベクトルの成分

問題解説(1)

問題4点 \({\rm O}(0~,~0)\) \(,\) \({\rm A}(3~,~4)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~-1)\) \(,\) \({\rm C}(-3~,~2)\) について、次のベクトルを成分で表し、その大きさを求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OA}$$

点の座標より、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$$
また、大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm OA}|=\sqrt{3^2+4^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{9+16}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{25}$$$$\hspace{ 34 pt}=5$$

よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=(3~,~4)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm OA}|=5$$となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OB}$$

点の座標より、$$~~~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ -1 \end{array}\right)$$
また、大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm OB}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{4+1}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{5}$$

よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OB}=(2~,~-1)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm OB}|=\sqrt{5}$$となります。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AC}$$

点の座標より、「終点-始点」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA}$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3-3 \\ 2-4 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -6 \\ -2 \end{array}\right)$$
また、大きさ、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm AC}|=\sqrt{(-6)^2+(-2)^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{36+4}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{40}$$$$\hspace{ 34 pt}=2\sqrt{10}$$

よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm AC}=(-6~,~-2)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm AC}|=2\sqrt{10}$$となります。

 

問題解説(4)

問題$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm BC}$$

点の座標より、「終点-始点」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ -1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3-2 \\ 2+1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -5 \\ 3 \end{array}\right)$$
また、大きさ、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm BC}|=\sqrt{(-5)^2+3^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{25+9}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{34}$$

よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm BC}=(-5~,~3)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm BC}|=\sqrt{34}$$となります。

 

今回のまとめ

2点を結ぶ線分のベクトルのときは、2つのベクトルの差を用いて成分を計算しましょう。また、大きさは成分の大きさの求め方で計算しましょう。

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