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平行四辺形とベクトル

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今回の問題は「平行四辺形とベクトル」です。

問題平面上の4点 \({\rm A}(3~,~4)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~-1)\) \(,\) \({\rm C}(-3~,~2)\) \(,\) \({\rm D}(x~,~y)\) について、この4点が平行四辺形をつくるときの点 \({\rm D}\) の座標を求めよ。

 

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平行四辺形とベクトルの解法

Point:平行四辺形とベクトル(1) 問題文に「平行四辺形 \({\rm ABCD}\) 」とあるとき、

図が上のただ1つに決まります。
平行四辺形は向かい合う辺が平行で長さが等しいので同じベクトルとなることより、$$~~~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm BC}$$これより、点 \({\rm D}\) の座標を求めます。
 
(2) 問題文に「4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) が平行四辺形をつくる」とあるとき、

上の図のように \({\rm D_1~,~D_2~,~D_3}\) の3つの点の候補がありそれぞれで平行四辺形が作れます。
よって、それぞれの場合に分けて考えましょう。

 

問題解説:平行四辺形とベクトル

問題平面上の4点 \({\rm A}(3~,~4)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~-1)\) \(,\) \({\rm C}(-3~,~2)\) \(,\) \({\rm D}(x~,~y)\) について、この4点が平行四辺形をつくるときの点 \({\rm D}\) の座標を求めよ。

この問題では、4点が平行四辺形をつくるとあるので、四角形 \({\rm ABCD~,~ABDC~,~ADBC}\) の3つの点の候補があるのでそれぞれについて場合分けをして考えます。
( ⅰ ) 四角形 \({\rm ABCD}\) が平行四辺形となるとき、

図より、\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm BC}\) となるので、それぞれのベクトルの成分は、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AD}$$$$~=\left(\begin{array} {c} x \\ y \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} x-3 \\ y-4 \end{array}\right)$$また、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm BC}$$$$~=\left(\begin{array} {c} -3 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ -1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -3-2 \\ 2+1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -5 \\ 3 \end{array}\right)$$
よって、\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm BC}\) より、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} x-3 \\ y-4 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -5 \\ 3 \end{array}\right)$$\(x\) 成分は、$$\hspace{ 10 pt}x-3=-5$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=-5+3$$$$\hspace{ 10 pt}x=-2$$\(y\) 成分は、$$\hspace{ 10 pt}y-4=3$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=3+4$$$$\hspace{ 10 pt}y=7$$
よって、\(\overrightarrow{\rm D}\) の座標は、$$~~~(-2~,~7)$$

 

( ⅱ ) 四角形 \({\rm ABDC}\) が平行四辺形となるとき、

図より、\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{\rm BD}\) となるので、それぞれのベクトルの成分は、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AC}$$$$~=\left(\begin{array} {c} -3 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 3-3 \\ 2-4 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} -6 \\ -2 \end{array}\right)$$また、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm BD}$$$$~=\left(\begin{array} {c} x \\ y \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ -1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} x-2 \\ y+1 \end{array}\right)$$
よって、\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{\rm BD}\) より、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} -6 \\ -2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} x-2 \\ y+1 \end{array}\right)$$\(x\) 成分は、$$\hspace{ 10 pt}-6=x-2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-x=-2+6$$$$\hspace{ 10 pt}-x=4$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}x=-4$$\(y\) 成分は、$$\hspace{ 10 pt}-2=y+1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-y=1+2$$$$\hspace{ 10 pt}-y=3$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}y=-3$$
よって、\(\overrightarrow{\rm D}\) の座標は、$$~~~(-4~,~-3)$$

 

( ⅲ ) 四角形 \({\rm ADBC}\) が平行四辺形となるとき、

図より、\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm CB}\) となるので、それぞれのベクトルの成分は、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AD}$$$$~=\left(\begin{array} {c} x \\ y \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} x-3 \\ y-4 \end{array}\right)$$また、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm CB}$$$$~=\left(\begin{array} {c} 2 \\ -1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} -3 \\ 2 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 2+3 \\ -1-2 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \end{array}\right)$$
よって、\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm CB}\) より、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} x-3 \\ y-4 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \end{array}\right)$$\(x\) 成分は、$$\hspace{ 10 pt}x-3=5$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=5+3$$$$\hspace{ 10 pt}x=8$$\(y\) 成分は、$$\hspace{ 10 pt}y-4=-3$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-3+4$$$$\hspace{ 10 pt}y=1$$
よって、\(\overrightarrow{\rm D}\) の座標は、$$~~~(8~,~1)$$

 

したがって、( ⅰ )〜( ⅲ )より答えは$$~~~(-2~,~7)~,~(-4~,~-3)~,~(8~,~1)$$となります。

 

今回のまとめ

平行四辺形とベクトルの問題では、まずは問題文からどのような平行四辺形かを確認しましょう。また、平行四辺形の条件は対辺のベクトルが等しくなります。

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