Twitterフォローよろしくお願いします!

ベクトルの内積②(成分利用)

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「ベクトルの内積②(成分利用)」です。

問題次の \(\overrightarrow{a}\) \(,\) \(\overrightarrow{b}\) \(,\) \(\overrightarrow{c}\) について、以下の内積に答えよ。$$~~~~~~\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)$$$$~~~~~~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)$$$${\small (1)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

成分を用いたベクトルの内積の解法

Point:成分を用いたベクトルの内積2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) について、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \end{array}\right) $$のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) は、

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_ax_b+y_ay_b$$

となります。

 

問題解説:ベクトルの内積②(成分利用)

問題解説(1)

問題次の \(\overrightarrow{a}\) \(,\) \(\overrightarrow{b}\) \(,\) \(\overrightarrow{c}\) について、以下の内積に答えよ。$$~~~~~~\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)$$$$~~~~~~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)$$$${\small (1)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right) $$よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=1\cdot(-2)+3\cdot1$$$$~=-2+3$$$$~=1$$
よって、答えは \(1\) となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right) $$よって、\(\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{c}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$$$~=-2\cdot3+1\cdot(-5)$$$$~=-6-5$$$$~=-11$$
よって、答えは \(-11\) となります。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right) $$よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{c}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$$$~=1\cdot3+3\cdot(-5)$$$$~=3-15$$$$~=-12$$
よって、答えは \(-12\) となります。

 

今回のまとめ

ベクトルの成分を用いた内積の計算は「成分の \(x\) 座標同士と \(y\) 座標同士をかけたものの和」と覚えておきましょう。

【問題一覧】数学B:平面ベクトル
このページは「高校数学B:平面ベクトル」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからな...