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ベクトルのなす角

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今回の問題は「ベクトルのなす角」です。

問題次の2つのベクトルのなす角を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{a}=(2~,~2\sqrt{3})~,~\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3}~,~3)$$$${\small (2)}~\overrightarrow{a}=(-3~,~1)~,~\overrightarrow{b}=(1~,~-2)$$

 

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ベクトルのなす角の解法

Point:ベクトルのなす角2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求める解法の手順は、
成分を用いた内積より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めます。
② \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) の大きさ \(|\overrightarrow{a}|\) と \(|\overrightarrow{b}|\) をそれぞれ求めます。
③ なす角 \(\theta\) を用いて内積の式を作ります。

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$

④ ①と②の値を代入して、\(\cos{\theta}\) を求めて \(\theta\) を求めます。

 

問題解説:ベクトルのなす角

問題解説(1)

問題次の2つのベクトルのなす角を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{a}=(2~,~2\sqrt{3})~,~\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3}~,~3)$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 2\sqrt{3} \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} -\sqrt{3} \\ 3 \end{array}\right) $$よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=2\cdot(-\sqrt{3})+2\sqrt{3}\cdot3$$$$~=-2\sqrt{3}+6\sqrt{3}$$$$~=4\sqrt{3}~~~\cdots{\Large ①}$$
また、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のそれぞれの大きさは、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}|$$$$~=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}$$$$~=\sqrt{4+12}$$$$~=\sqrt{16}$$$$~=4$$
また、$$~~~~~~|\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+3^2}$$$$~=\sqrt{3+9}$$$$~=\sqrt{12}$$$$~=2\sqrt{3}$$
よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) としたとき \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$$$~=4\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos{\theta}$$$$~=8\sqrt{3}\cos{\theta}~~~\cdots{\Large ②}$$
①と②より、$$\hspace{ 10 pt}8\sqrt{3}\cos{\theta}=4\sqrt{3}$$両辺を \(8\sqrt{3}\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲で \(\theta\) を求めると、$$~~~\theta=60^\circ$$
よって、答えは \(60^\circ\) となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{a}=(-3~,~1)~,~\overrightarrow{b}=(1~,~-2)$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} -3 \\ 1 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \end{array}\right) $$よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=(-3)\cdot1+1\cdot(-2)$$$$~=-3-2$$$$~=-5~~~\cdots{\Large ①}$$
また、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のそれぞれの大きさは、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}|$$$$~=\sqrt{(-3)^2+^2}$$$$~=\sqrt{9+1}$$$$~=\sqrt{10}$$
また、$$~~~~~~|\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{1^2+(-2)^2}$$$$~=\sqrt{1+4}$$$$~=\sqrt{5}$$
よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) としたとき \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$$$~=\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos{\theta}$$$$~=5\sqrt{2}\cos{\theta}~~~\cdots{\Large ②}$$
①と②より、$$\hspace{ 10 pt}5\sqrt{2}\cos{\theta}=-5$$両辺を \(5\sqrt{2}\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲で \(\theta\) を求めると、$$~~~\theta=135^\circ$$
よって、答えは \(135^\circ\) となります。

 

今回のまとめ

ベクトルのなす角の求め方は公式があるのですが、内積の公式を利用しているだけなので今回の解法の手順を覚えておきましょう。

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