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内積を用いた等式証明

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今回の問題は「内積を用いた等式証明」です。

問題次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d})$$$$\hspace{ 6 pt}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}$$$${\small (2)}~|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2$$$$\hspace{ 6 pt}=9|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2$$

 

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ベクトルの内積の性質

Point:ベクトルの内積の性質\(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) と実数 \(k\) について、
内積は順番を逆にしても値は同じになります。

$$~{\small (1)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}~~$$

 
分配法則が成り立ちます。

$$~{\small (2)}~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}~~$$$$~{\small (3)}~\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}~~$$

 
交換法則が成り立ちます。定数 \(k\) は係数として前に出せます。

$$~{\small (4)}~(k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}~~$$

 
同じベクトルの内積は、なす角が \(0^\circ\) となり \(\cos{0^\circ}=1\) より大きさの2乗となります。

$$~{\small (5)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2~~$$

 

問題解説:内積を用いた等式証明

問題解説(1)

問題次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d})$$$$\hspace{ 6 pt}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}$$

[証明] 左辺について、$$~~~~~~(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d})$$$$~=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d})-2\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d})$$$$~=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot(3\overrightarrow{d})$$$$\hspace{ 50 pt}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}\cdot(3\overrightarrow{d})$$$$~=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}$$右辺と等しくなります。
よって、$$~~~(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d})$$$$\hspace{ 12 pt}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}$$[終]

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2$$$$\hspace{ 6 pt}=9|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2$$

[証明] 左辺について、$$~~~~~~|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2$$$$~=(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\cdot(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$$$$~=3\overrightarrow{a}\cdot(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})-2\overrightarrow{b}\cdot(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$$$$~=3\overrightarrow{a}\cdot(3\overrightarrow{a})+3\overrightarrow{a}\cdot(-2\overrightarrow{b})$$$$\hspace{ 50 pt}-2\overrightarrow{b}\cdot(3\overrightarrow{a})-2\overrightarrow{b}\cdot(-2\overrightarrow{b})$$$$~=9\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=9|\overrightarrow{a}|^2-6\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2$$$$~=9|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2$$右辺と等しくなります。
よって、$$~~~|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2=9|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^2$$[終]

 

今回のまとめ

内積の性質を用いた等式証明は、ベクトルの内積の分配法則や交換法則、同じベクトルの内積は大きさの2乗になるなどの性質を用いて計算していきましょう。

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