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内積の性質の利用(ベクトルの大きさと内積)

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今回の問題は「内積の性質の利用(ベクトルの大きさと内積)」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=1\) で \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(120^\circ\) のとき、ベクトル \(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) の大きさを求めよ。
\({\small (2)}\) \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}~,~|\overrightarrow{b}|=1~,~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\) のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を求めよ。

 

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ベクトルの大きさと内積

Point:ベクトルの大きさと内積ベクトル \(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) の大きさが条件のとき、大きさの2乗の式を考えましょう。

$$| s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} |^2$$

この式を内積の性質を用いて計算していくと、$$~~~~~~| s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} |^2$$$$~=(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})\cdot(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})$$$$~=s^2|\overrightarrow{a}|^2+2st\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t^2|\overrightarrow{b}|^2$$この式を用いて計算していきましょう。

Point:ベクトルの内積の性質

\(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) と実数 \(k\) について、
内積は順番を逆にしても値は同じになります。

$$~{\small (1)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}~~$$

 
分配法則が成り立ちます。

$$~{\small (2)}~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}~~$$$$~{\small (3)}~\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}~~$$

 
交換法則が成り立ちます。定数 \(k\) は係数として前に出せます。

$$~{\small (4)}~(k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}~~$$

 
同じベクトルの内積は、なす角が \(0^\circ\) となり \(\cos{0^\circ}=1\) より大きさの2乗となります。

$$~{\small (5)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2~~$$

 

問題解説:内積の性質の利用(ベクトルの大きさと内積)

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=1\) で \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(120^\circ\) のとき、ベクトル \(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) の大きさを求めよ。

\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) の大きさの2乗を考えると、$$~~~~~~| 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |^2$$$$~=(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$$$~=2\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})-\overrightarrow{b}\cdot(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$$$~=4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=4|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2$$$$~=4|\overrightarrow{a}|^2-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2$$ここで、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(120^\circ\) より内積は$$\hspace{ 20 pt}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{120^\circ}$$これを代入すると、$$~=4|\overrightarrow{a}|^2-4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{120^\circ}+|\overrightarrow{b}|^2$$次に、\(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=1\) を代入すると、$$~=4\cdot2^2-4\cdot2\cdot1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1^2$$$$~=16+4+1$$$$~=21$$ここで、\(|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|≧0\) より、答えは$$~~~|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{21}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}~,~|\overrightarrow{b}|=1~,~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\) のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を求めよ。

\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\) の両辺を2乗すると、$$\hspace{ 57 pt}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=(\sqrt{7})^2$$$$\hspace{ 10 pt}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=7$$内積の性質より、$$\hspace{ 30 pt}\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=7$$$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}=7$$$$\hspace{ 26 pt}|\overrightarrow{a}|^2+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2=7$$$$\hspace{ 61 pt}|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2=7$$ここで、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると内積は、$$\hspace{ 20 pt}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$これを代入すると、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{a}|^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}+|\overrightarrow{b}|^2=7$$次に、\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}~,~|\overrightarrow{b}|=1\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}(\sqrt{3})^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot1\cdot\cos{\theta}+1^2=7$$$$\hspace{ 61 pt}3+2\sqrt{3}\cos{\theta}+1=7$$$$\hspace{ 78 pt}4+2\sqrt{3}\cos{\theta}=7$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2\sqrt{3}\cos{\theta}=7-4$$$$\hspace{ 10 pt}2\sqrt{3}\cos{\theta}=3$$両辺を \(2\sqrt{3}\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=\frac{3}{2\sqrt{3}}$$$$\hspace{ 33 pt}=\frac{3\times\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}$$$$\hspace{ 33 pt}=\frac{3\sqrt{3}}{2\times3}$$$$\hspace{ 33 pt}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$よって、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲で考えると \(\theta=30^\circ\) となります。
よって、答えは \(30^\circ\) となります。

 

今回のまとめ

ベクトル \(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) の大きさが与えられた問題は、この式を2乗して内積の性質を用いて計算する方法を覚えておきましょう。

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