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内分点・外分点の位置ベクトル

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今回の問題は「内分点・外分点の位置ベクトル」です。

問題点 \({\rm A~,~B}\) の位置ベクトルをそれぞれ \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) とするとき、次の位置ベクトルを求めよ。
\({\small (1)}\) 線分 \({\rm AB}\) の中点
\({\small (2)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分する点
\({\small (3)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に外分する点

 

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内分点・外分点の位置ベクトル

Point:内分点・外分点の位置ベクトル\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の中点の位置ベクトル \(\overrightarrow{m}\) は、

$$\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$$

 
\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に内分する点の位置ベクトル \(\overrightarrow{p}\) は、

$$\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$$

 
\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に外分する点の位置ベクトル \(\overrightarrow{q}\) は、

$$\overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}$$

 

問題解説:内分点・外分点の位置ベクトル

問題解説(1)

問題点 \({\rm A~,~B}\) の位置ベクトルをそれぞれ \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) とするとき、次の位置ベクトルを求めよ。
\({\small (1)}\) 線分 \({\rm AB}\) の中点

\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の中点の位置ベクトルを \(\overrightarrow{m}\) とすると、
$$~~~\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$$$$\hspace{ 20 pt}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$
よって、答えは$$~~~\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分する点

\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分する点の位置ベクトルを \(\overrightarrow{p}\) とすると、
$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{p}=\frac{1\cdot\overrightarrow{a}+2\cdot\overrightarrow{b}}{2+1}$$$$\hspace{ 23 pt}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}$$$$\hspace{ 23 pt}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$
よって、答えは$$~~~\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$となります。

 

問題解説(3)

問題\({\small (3)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に外分する点

\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に外分する点の位置ベクトルを \(\overrightarrow{q}\) とすると、
$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{q}=\frac{-2\cdot\overrightarrow{a}+3\cdot\overrightarrow{b}}{3+(-2)}$$$$\hspace{ 24 pt}=\frac{-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{1}$$$$\hspace{ 24 pt}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$$
よって、答えは$$~~~-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$$となります。

 

今回のまとめ

位置ベクトルについては、点の座標のベクトルでの表し方をおさえておきましょう。また、内分点・外分点や中点の位置ベクトルは公式を覚えておきましょう。

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