内分点・外分点の位置ベクトル
\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に内分する点の位置ベクトル \(\overrightarrow{p}\) は、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に外分する点の位置ベクトル \(\overrightarrow{q}\) は、
問題解説：内分点・外分点の位置ベクトル
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 線分 \({\rm AB}\) の中点
\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の中点の位置ベクトルを \(\overrightarrow{m}\) とすると、
$$~~~\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$$$$\hspace{ 20 pt}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$
よって、答えは$$~~~\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$となります。
問題解説(2)
\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分する点の位置ベクトルを \(\overrightarrow{p}\) とすると、
$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{p}=\frac{1\cdot\overrightarrow{a}+2\cdot\overrightarrow{b}}{2+1}$$$$\hspace{ 23 pt}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}$$$$\hspace{ 23 pt}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$
よって、答えは$$~~~\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$となります。
問題解説(3)
\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に外分する点の位置ベクトルを \(\overrightarrow{q}\) とすると、
$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{q}=\frac{-2\cdot\overrightarrow{a}+3\cdot\overrightarrow{b}}{3+(-2)}$$$$\hspace{ 24 pt}=\frac{-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{1}$$$$\hspace{ 24 pt}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$$
よって、答えは$$~~~-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$$となります。
今回のまとめ
位置ベクトルについては、点の座標のベクトルでの表し方をおさえておきましょう。また、内分点・外分点や中点の位置ベクトルは公式を覚えておきましょう。
