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重心の位置ベクトル

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今回の問題は「重心の位置ベクトル」です。

問題\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\) とするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。$$~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}$$

 

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三角形の重心の位置ベクトル

Point:三角形の重心の位置ベクトル\(\triangle {\rm ABC}\) の頂点の位置ベクトルを$$~~~{\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})$$とするとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心の位置ベクトル \(\overrightarrow{g}\) は、

$$\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$$

となります。

 

問題解説:重心の位置ベクトル

問題\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\) とするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。$$~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}$$

[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の頂点の位置ベクトルを$$~~~{\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})$$とするとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心の位置ベクトル \(\overrightarrow{g}\) は、$$~~~\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}~~~\cdots{\Large ①}$$
よって、左辺は$$~~~~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}$$$$~=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})$$$$~=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g}-\overrightarrow{g}-\overrightarrow{g}$$$$~=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-3\overrightarrow{g}$$ここで、①を代入すると、$$~=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-3\cdot\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$$$$~=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$$$$~=\overrightarrow{0}$$よって、右辺と等しくなります。
したがって、$$~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}$$[終]

 

今回のまとめ

三角形の重心の位置ベクトルについては、重心の公式を覚えておきましょう。また、証明問題での応用もおさえておきましょう。

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