三角形の重心の位置ベクトル
となります。
問題解説：重心の位置ベクトル
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の頂点の位置ベクトルを$$~~~{\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})$$とするとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心の位置ベクトル \(\overrightarrow{g}\) は、$$~~~\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}~~~\cdots{\Large ①}$$
よって、左辺は$$~~~~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}$$$$~=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})$$$$~=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g}-\overrightarrow{g}-\overrightarrow{g}$$$$~=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-3\overrightarrow{g}$$ここで、①を代入すると、$$~=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-3\cdot\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$$$$~=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$$$$~=\overrightarrow{0}$$よって、右辺と等しくなります。
したがって、$$~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}$$[終]
今回のまとめ
三角形の重心の位置ベクトルについては、重心の公式を覚えておきましょう。また、証明問題での応用もおさえておきましょう。
