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3点が同一直線上にある条件

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今回の問題は「3点が同一直線上にある条件」です。

問題平行四辺形 \({\rm ABCD}\) において、辺 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm P}\) 、対角線 \({\rm BD}\) を \(1:3\) に内分する点を \({\rm Q}\) とするとき、3点 \({\rm P~,~Q~,~C}\) は同一直線上にあることを示せ。

 

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3点が同一直線上にある条件

Point:3点が同一直線上にある条件

3点 \({\rm A~,~B~,~C}\) が同一直線上にある
\(\hspace{ 10 pt}~\Leftrightarrow~\) \(\overrightarrow{\rm AC}=k\overrightarrow{\rm AB}\) となる実数 \(k\) が存在する

 
3点 \({\rm A~,~B~,~C}\) が同一直線上にあることを示す解法の手順は、
① \(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm AC}\) をそれぞれ基準となるベクトルを用いて表します。
② \(\overrightarrow{\rm AC}=k\overrightarrow{\rm AB}\) となるような実数 \(k\) を見つけます。

 

問題解説:3点が同一直線上にある条件

問題平行四辺形 \({\rm ABCD}\) において、辺 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm P}\) 、対角線 \({\rm BD}\) を \(1:3\) に内分する点を \({\rm Q}\) とするとき、3点 \({\rm P~,~Q~,~C}\) は同一直線上にあることを示せ。

[証明] 図は次のようになります。

\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{x}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{y}\) とします。
3点 \({\rm P~,~Q~,~C}\) を始点 \({\rm A}\) からのベクトルは、
\(\overrightarrow{\rm AP}\) は、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{x}~~~\cdots{\Large ①}$$
次に、\(\overrightarrow{\rm AQ}\) は点 \({\rm Q}\) は \({\rm BD}\) を \(1:3\) に内分する点より、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AQ}$$$$~=\frac{3\cdot\overrightarrow{\rm AB}+1\cdot\overrightarrow{\rm AD}}{1+3}$$$$~=\frac{3}{4}\overrightarrow{\rm AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\rm AD}$$$$~=\frac{3}{4}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}~~~\cdots{\Large ②}$$
次に \(\overrightarrow{\rm AC}\) は平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の対角線のベクトルとなるので、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AC}$$$$~=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AD}$$$$~=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}~~~\cdots{\Large ③}$$

 

ここで、\(\overrightarrow{\rm PC}\) は、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm PC}$$$$~=\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AP}$$①と③より、$$~=(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})-\frac{2}{3}\overrightarrow{x}$$$$~=\frac{3}{3}\overrightarrow{x}-\frac{2}{3}\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$$$$~=\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$$$$~=\frac{\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}}{3}~~~\cdots{\Large ④}$$
次に \(\overrightarrow{\rm PQ}\) は、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm PQ}$$$$~=\overrightarrow{\rm AQ}-\overrightarrow{\rm AP}$$②と③より、$$~=\left(\frac{3}{4}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}\right)-\frac{2}{3}\overrightarrow{x}$$$$~=\frac{3}{4}\overrightarrow{x}-\frac{2}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}$$$$~=\frac{9-8}{12}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}$$$$~=\frac{1}{12}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}$$$$~=\frac{\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}}{12}~~~\cdots{\Large ⑤}$$
よって、④=4×⑤となっているので、$$\hspace{ 10 pt}\frac{\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}}{3}=4\times\frac{\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}}{12}$$$$\hspace{ 37 pt}\overrightarrow{\rm PC}=4\overrightarrow{\rm PQ}$$ゆえに、3点 \({\rm P~,~Q~,~C}\) は同一直線上にあります。[終]

 

今回のまとめ

同一直線上にあることを示すためには、同一直線上にある条件式を満たすことを示します。条件式を作る計算を覚えておきましょう。

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