Twitterフォローよろしくお願いします!

2直線の交点とベクトル

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「2直線の交点とベクトル」です。

問題\(\triangle {\rm OAB}\) について、線分 \({\rm OA}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm D}\) 、線分 \({\rm OB}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm E}\) 、直線 \({\rm AE}\) と \({\rm BD}\) との交点を \({\rm F}\) とする。\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm OF}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表せ。

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

2直線の交点のベクトル

Point:2直線の交点のベクトル次の \(\triangle {\rm OAB}\) について、\(\overrightarrow{\rm OF}\) は、

① \(\triangle {\rm OAE}\) について着目して、\(\overrightarrow{\rm OF}\) を求めます。

② \(\triangle {\rm OBD}\) について着目して、\(\overrightarrow{\rm OF}\) を求めます。

③ ①と②より、ベクトルの係数比較を用いて \(s\) ( または \(t\) ) を求めます。
このとき、「\(\overrightarrow{\rm OA}\) と \(\overrightarrow{\rm OB}\) は \(\overrightarrow{\rm OA}\neq0\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OB}\neq0\) かつ \(\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB}\) は平行でない」を書くことを忘れないように!
 
④ \(\overrightarrow{\rm OF}\) を求めます。

 

問題解説:2直線の交点のベクトル

問題\(\triangle {\rm OAB}\) について、線分 \({\rm OA}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm D}\) 、線分 \({\rm OB}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm E}\) 、直線 \({\rm AE}\) と \({\rm BD}\) との交点を \({\rm F}\) とする。\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm OF}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表せ。

$$~~~{\rm AF:FE}=s:1-s$$$$~~~{\rm BF:FD}=t:1-t$$とすると、図は次のようになります。

ここで、\(\triangle {\rm OAE}\) について、

\(\overrightarrow{\rm OE}\) は、$$~~~\overrightarrow{\rm OE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$よって、点 \({\rm F}\) は線分 \({\rm AE}\) を \(s:1-s\) に内分しているので、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm OF}$$$$~=\frac{(1-s)\overrightarrow{\rm OA}+s\overrightarrow{\rm OE}}{s+(1-s)}$$$$~=(1-s)\overrightarrow{\rm OA}+s\overrightarrow{\rm OE}$$$$~=(1-s)\overrightarrow{a}+s\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\right)$$$$~=(1-s)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}s\overrightarrow{b}~~~\cdots{\Large ①}$$

 

次に、\(\triangle {\rm OBD}\) について、

\(\overrightarrow{\rm OD}\) は、$$~~~\overrightarrow{\rm OD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{\rm OA}=\frac{2}{5}\overrightarrow{a}$$よって、点 \({\rm F}\) は線分 \({\rm BD}\) を \(t:1-t\) に内分しているので、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm OF}$$$$~=\frac{(1-t)\overrightarrow{\rm OB}+t\overrightarrow{\rm OD}}{t+(1-t)}$$$$~=(1-t)\overrightarrow{\rm OB}+t\overrightarrow{\rm OD}$$$$~=(1-t)\overrightarrow{b}+t\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{a}\right)$$$$~=\frac{2}{5}t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}~~~\cdots{\Large ②}$$

 

よって、①と②より、$$~~~(1-s)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}s\overrightarrow{b}=\frac{2}{5}t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}$$\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は \(\overrightarrow{a}\neq0\) \(,\) \(\overrightarrow{b}\neq0\) かつ \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) は平行でないので、$$~~~\Biggl\{~~ \begin{eqnarray} 1-s=\frac{2}{5}t~~~\cdots{\Large ③} \\ \frac{2}{3}s=1-t~~~\cdots{\Large ④} \end{eqnarray}$$④より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{2}{3}s=1-t$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}t=1-\frac{2}{3}s$$これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}1-s=\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{3}s\right)$$$$\hspace{ 10 pt}1-s=\frac{2}{5}-\frac{4}{15}s$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-s+\frac{4}{15}s=\frac{2}{5}-1$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{-15+4}{15}s=\frac{2-5}{5}$$$$\hspace{ 27 pt}-\frac{11}{15}s=-\frac{3}{5}$$両辺に \(-{\large \frac{15}{11}}\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}s=-\frac{3}{5}\times\left(-\frac{15}{11}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}s=\frac{9}{11}$$
よって、①に代入すると、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm OF}$$$$~=\left(1-\frac{9}{11}\right)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{11}\overrightarrow{b}$$$$~=\frac{11-9}{11}\overrightarrow{a}+\frac{6}{11}\overrightarrow{b}$$$$~=\frac{2}{11}\overrightarrow{a}+\frac{6}{11}\overrightarrow{b}$$
答えは、$$~~~\overrightarrow{\rm OF}=\frac{2}{11}\overrightarrow{a}+\frac{6}{11}\overrightarrow{b}$$となります。

 

今回のまとめ

2直線の交点のベクトルは、2つの三角形に分けてそれぞれで交点の位置ベクトルを表し係数比較する解法をおさえておきましょう。

【問題一覧】数学B:平面ベクトル
このページは「高校数学B:平面ベクトル」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからな...