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空間ベクトルの成分と大きさ

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今回の問題は「空間ベクトルの成分と大きさ」です。

問題次のベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) について、以下の問いに答えよ。$$~~~\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)~,~\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-1~,~2~,~-2)$$\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a}\) の大きさを求めよ。
\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{b}\) の大きさを求めよ。
\({\small (3)}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) を成分で表し、大きさを求めよ。
\({\small (4)}\) \(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。
\({\small (5)}\) \(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。

 

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空間ベクトルの成分と大きさ

Point:空間ベクトルの大きさ\(\overrightarrow{a}=(x_a~,~y_a~,~z_a)\) のとき、このベクトルの大きさ \(|\overrightarrow{a}|\) は、

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}$$

となります。

Point:空間ベクトルの成分の演算

\(k~,~l\) を実数として、2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) について、$$~~~\overrightarrow{a}=(x_a~,~y_a~,~z_a)~,~\overrightarrow{b}=(x_b~,~y_b~,~z_b)$$のとき、

$$~~~~~~k\overrightarrow{a}\pm l\overrightarrow{b}$$$$~=k \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array}\right)\pm l \left(\begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)$$$$~= \left(\begin{array}{c} k x_a\pm lx_b \\ ky_a\pm ly_b \\ kz_a\pm lz_b \end{array}\right)$$

\(x~,~y~,~z\) の各成分をそれぞれ計算しましょう。
ここでは、成分を横書きではなく縦書きで表記します。サイト上での見やすさを重視しています。
答えは書くときは学校で指定された表記で書きましょう。

 

問題解説:空間ベクトルの成分と大きさ

問題解説(1)

問題次のベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) について、以下の問いに答えよ。$$~~~\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)~,~\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-1~,~2~,~-2)$$\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a}\) の大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)\) より、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+0^2}$$$$\hspace{ 28 pt}=\sqrt{1+4}$$$$\hspace{ 28 pt}=\sqrt{5}$$
よって、答えは$$~~~|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{b}\) の大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)\) より、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}$$$$\hspace{ 28 pt}=\sqrt{4+9+1}$$$$\hspace{ 28 pt}=\sqrt{14}$$
よって、答えは$$~~~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$$となります。

 

問題解説(3)

問題\({\small (3)}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) を成分で表し、大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) はそれぞれ、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$これより、$$~~~~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$$$~=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 1+2 \\ -2+3 \\ 0+1 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$$よって、$$~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3~,~1~,~1)$$となります。
また、大きさ \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\) は、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{3^2+1^2+1^2}$$$$~=\sqrt{9+1+1}$$$$~=\sqrt{11}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3~,~1~,~1)$$$$~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{11}$$となります。

 

問題解説(4)

問題\({\small (4)}\) \(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) はそれぞれ、$$~~~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$これより、$$~~~~~~\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$$$~=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 2+1 \\ 3-2 \\ 1+2 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 3 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)$$よって、$$~~~\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(3~,~1~,~3)$$となります。
また、大きさ \(|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|\) は、$$~~~~~~|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$$$$~=\sqrt{3^2+1^2+3^2}$$$$~=\sqrt{9+1+9}$$$$~=\sqrt{19}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(3~,~1~,~3)$$$$~~~|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|=\sqrt{19}$$となります。

 

問題解説(5)

問題\({\small (5)}\) \(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。

\(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{c}\) はそれぞれ、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$これより、$$~~~~~~3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}$$$$~=3\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)-2\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 3 \\ -6 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2 \\ -4 \\ 4 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 3+2 \\ -6-4 \\ 0+4 \end{array}\right)$$$$~=\left(\begin{array} {c} 5 \\ -10 \\ 4 \end{array}\right)$$
よって、$$~~~3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}=(5~,~-10~,~4)$$となります。
また、大きさ \(|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}|\) は、$$~~~~~~|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}|$$$$~=\sqrt{5^2+(-10)^2+4^2}$$$$~=\sqrt{25+100+16}$$$$~=\sqrt{141}$$
よって、答えは$$~~~3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}=(5~,~-10~,~4)$$$$~~~|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}|=\sqrt{141}$$となります。

 

今回のまとめ

空間ベクトルの成分と大きさは、平面ベクトルより \(z\) 座標が追加されているのでその点に注意して計算しましょう。また、成分の演算は縦書きの方が見やすく計算ミスが少なくなりますが、答えを書くときは横書きに戻しましょう。

【問題一覧】数学B:空間ベクトル
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