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空間ベクトルの成分と式変形

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今回の問題は「空間ベクトルの成分と式変形」です。

問題次のベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) について、\(\overrightarrow{d}\) を$$~~~\overrightarrow{d}=l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$$で表せ。ただし、\(l~,~m~,~n\) は定数とする。$$~~~\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)$$$$~~~\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-1~,~2~,~-2)$$$$~~~\overrightarrow{d}=(5~,~-3~,~4)$$

 

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空間ベクトルの成分と式変形

Point:空間ベクトルの相等2つのベクトル$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array}\right)~,~ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)$$について、$$~~~\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$$のとき、$$~~~\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)$$よって、各成分は等しくなるので、

$$x_a=x_b~,~y_a=y_b~,~z_a=z_b$$

が成り立ちます。

 

問題解説:空間ベクトルの成分と式変形

問題次のベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) について、\(\overrightarrow{d}\) を$$~~~\overrightarrow{d}=l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$$で表せ。ただし、\(l~,~m~,~n\) は定数とする。$$~~~\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)$$$$~~~\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-1~,~2~,~-2)$$$$~~~\overrightarrow{d}=(5~,~-3~,~4)$$

各ベクトルの成分は、 $$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$~~~ \overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)~,~ \overrightarrow{d}=\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)$$これより、$$~~~\overrightarrow{d}=l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$$に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=l\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+m\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)+n\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} l \\ -2l \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2m \\ 3m \\ m \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -n \\ 2n \\ -2n \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} l+2m-2n \\ -2l+3m+2n \\ m-2n \end{array}\right)$$よって、各成分は等しいので、$$~~~\begin{eqnarray} 5=l+2m-2n~~~\cdots{\Large ①} \\ -3=-2l+3m+2n~~~\cdots{\Large ②} \\ 4=m-2n~~~\cdots{\Large ③} \end{eqnarray}$$①+②より、$$\hspace{ 10 pt}5-3=(l+2m-2n)+(-2l+3m+2n)$$$$\hspace{ 28 pt}2=-l+5m~~~\cdots{\Large ④}$$また、②+③より、$$\hspace{ 10 pt}-3+4=(-2l+3m+2n)+(m-2n)$$$$\hspace{ 35 pt}1=-2l+4m~~~\cdots{\Large ⑤}$$ここで、④×2−⑤より、$$\hspace{ 10 pt}2\times2-1=(-l+5m)\times2-(-2l+4m)$$$$\hspace{ 28 pt}4-1=-2l+10m+2l-4m$$$$\hspace{ 46 pt}3=6m$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}6m=3$$両辺を \(6\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}m=\frac{1}{2}~~~\cdots{\Large ⑥}$$これを④に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}2=-l+5\cdot\frac{1}{2}$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}l=\frac{5}{2}-2$$$$\hspace{ 10 pt}l=\frac{5}{2}-\frac{4}{2}$$$$\hspace{ 10 pt}l=\frac{1}{2}~~~\cdots{\Large ⑦}$$次に⑥を③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}4=\frac{1}{2}-2n$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2n=\frac{1}{2}-4$$$$\hspace{ 10 pt}2n=\frac{1-8}{2}$$$$\hspace{ 10 pt}2n=-\frac{7}{2}$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}n=-\frac{7}{4}~~~\cdots{\Large ⑧}$$
⑥、⑦、⑧より、答えは、$$~~~\overrightarrow{d}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{7}{4}\overrightarrow{c}$$となります。

 

今回のまとめ

空間ベクトルでもベクトルの相等が成り立ち、両辺の各成分は等しくなります。また、成分は縦書きで計算すると見やすく計算ミスが減るので活用しましょう。

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