空間ベクトルの成分と式変形

2018.12.242020.06.09

空間ベクトルの成分と式変形
問題解説：空間ベクトルの成分と式変形
今回のまとめ

空間ベクトルの成分と式変形

Point：空間ベクトルの相等２つのベクトル$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array}\right)~,~ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)$$について、$$~~~\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$$のとき、$$~~~\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right)$$よって、各成分は等しくなるので、

$$x_a=x_b~,~y_a=y_b~,~z_a=z_b$$

が成り立ちます。

問題解説：空間ベクトルの成分と式変形

問題次のベクトル $\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}$ について、$\overrightarrow{d}$ を$$~~~\overrightarrow{d}=l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$$で表せ。ただし、$l~,~m~,~n$ は定数とする。$$~~~\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)$$$$~~~\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-1~,~2~,~-2)$$$$~~~\overrightarrow{d}=(5~,~-3~,~4)$$

各ベクトルの成分は、 $$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$~~~ \overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)~,~ \overrightarrow{d}=\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)$$これより、$$~~~\overrightarrow{d}=l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$$に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=l\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+m\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)+n\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} l \\ -2l \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2m \\ 3m \\ m \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -n \\ 2n \\ -2n \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 5 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} l+2m-n \\ -2l+3m+2n \\ m-2n \end{array}\right)$$よって、各成分は等しいので、$$~~~\begin{eqnarray} 5=l+2m-n~~~\cdots{\Large ①} \\ -3=-2l+3m+2n~~~\cdots{\Large ②} \\ 4=m-2n~~~\cdots{\Large ③} \end{eqnarray}$$①$\times2$ より、$$\hspace{ 10 pt}10=2l+4m-2n$$①$\times2$＋②より、$$\hspace{ 10 pt}10-3=2l+4m-2n-2l+3m+2n$$$$\hspace{ 34 pt}7=7m$$移項して、両辺を$7$で割ると、$$\hspace{ 10 pt} m=1~~~\cdots{\Large ④}$$これを、③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}4=1-2n$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2n=1-4$$$$\hspace{ 10 pt}2n=-3$$両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}n=-\frac{3}{2}~~~\cdots{\Large ⑤}$$次に、④と⑤を①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5=l+2\times1-\left(-\frac{3}{2}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}5=l+2+\frac{3}{2}$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-l=2+\frac{3}{2}-5$$$$\hspace{ 10 pt}-l=\frac{4}{2}+\frac{3}{2}-\frac{10}{2}$$$$\hspace{ 10 pt}-l=-\frac{3}{2}$$両辺に $-1$ をかけて、$$\hspace{ 10 pt}l= \frac{3}{2}~~~\cdots{\Large ⑥}$$
④、⑤、⑥より、答えは、$$~~~\overrightarrow{d}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\frac{3}{2}\overrightarrow{c}$$となります。