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空間の点とベクトルの成分

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今回の問題は「空間の点とベクトルの成分」です。

問題空間上の4点について、次のベクトルを成分で表し、その大きさを求めよ。$$~~~{\rm O}(0~,~0~,~0)~,~ {\rm A}(1~,~-2~,~0)$$$$~~~{\rm B}(2~,~3~,~1)~,~ {\rm C}(-1~,~2~,~-2)$$$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OC}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm BC}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm CA}$$

 

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空間の点とベクトルの成分

Point:点の座標とベクトルの成分2点 \({\rm A~,~B}\) について、$$~~~{\rm A}(x_a~,~y_a~,~z_a)~,~{\rm B}(x_b~,~y_b~,~z_b)$$このとき、\(\overrightarrow{\rm AB}\) の成分は、

$$\overrightarrow{\rm AB}=\left(\begin{array} {c} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} x_b-x_a \\ y_b-y_a \\ z_b-z_a \end{array}\right)$$

成分を求めるときは、「終点-始点」と計算すると覚えておきましょう。
また、その大きさ \(|\overrightarrow{\rm AB}|\) は、

$$|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

となります。

 

問題解説:空間の点とベクトルの成分

問題解説(1)

問題空間上の4点について、次のベクトルを成分で表し、その大きさを求めよ。$$~~~{\rm O}(0~,~0~,~0)~,~ {\rm A}(1~,~-2~,~0)$$$$~~~{\rm B}(2~,~3~,~1)~,~ {\rm C}(-1~,~2~,~-2)$$$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OC}$$

2点 \({\rm O~,~C}\) について、$$~~~{\rm O}(0~,~0~,~0)~,~{\rm C}(-1~,~2~,~-2)$$これより、「終点C-始点O」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OC}=\left(\begin{array} {c} -1-0 \\ 2-0 \\ -2-0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$$
また、その大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm OC}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(2)^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{1+4+4}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{9}$$$$\hspace{ 34 pt}=3$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OC}=(-1~,~2~,~-2)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm OC}|=3$$となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}$$

2点 \({\rm A~,~B}\) について、$$~~~{\rm A}(1~,~-2~,~0)~,~{\rm B}(2~,~3~,~1)$$これより、「終点B-始点A」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2-1 \\ 3+2 \\ 1-0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$$
また、その大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{1^2+5^2+1^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{1+25+1}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{27}$$$$\hspace{ 34 pt}=3\sqrt{3}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm AB}=(1~,~5~,~1)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm AB}|=3\sqrt{3}$$となります。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm BC}$$

2点 \({\rm B~,~C}\) について、$$~~~{\rm B}(2~,~3~,~1)~,~{\rm C}(-1~,~2~,~-2)$$これより、「終点C-始点B」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BC}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -1-2 \\ 2-3 \\ -2-1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3 \\ -1 \\ -3 \end{array}\right)$$
また、その大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-3)^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{9+1+9}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{19}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm BC}=(-3~,~-1~,~-3)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm BC}|=\sqrt{19}$$となります。

 

問題解説(4)

問題$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm CA}$$

2点 \({\rm C~,~A}\) について、$$~~~{\rm C}(-1~,~2~,~-2)~,~{\rm A}(1~,~-2~,~0)$$これより、「終点A-始点C」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm CA}=\left(\begin{array} {c} 1 \\-2 \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 1+1 \\ -2-2 \\ 0+2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right)$$
また、その大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm CA}|=\sqrt{2^2+(-4)^2+2^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{4+16+4}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{24}$$$$\hspace{ 34 pt}=2\sqrt{6}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm CA}=(2~,~-4~,~2)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm CA}|=2\sqrt{6}$$となります。

 

今回のまとめ

点の座標と空間ベクトルの成分については、2点を結ぶベクトルの成分を表せれるようになりましょう。ベクトルの「終点−始点」と覚えておきましょう。

【問題一覧】数学B:空間ベクトル
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