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空間ベクトルの内積①(基本)

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今回の問題は「空間ベクトルの内積①(基本)」です。

問題1辺の長さが \(2\) の正四面体 \({\rm OABC}\) と線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) について、次の内積を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OC}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OM}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm AC}$$

 

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空間ベクトルの内積の解法

Point:空間ベクトルの内積始点が同じ2つのベクトル$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}$$において、

この2つのベクトルのなす角を$$~~~\theta~~~(0^\circ≦\theta≦180^\circ)$$としたとき、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積といい次の式で表します。

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$

 

問題解説:空間ベクトルの内積①(基本)

問題解説(1)

問題1辺の長さが \(2\) の正四面体 \({\rm OABC}\) と線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) について、次の内積を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OC}$$

\(\triangle {\rm OAC}\) について、

\(\overrightarrow{\rm OB}\) と \(\overrightarrow{\rm OC}\) のなす角が \(60^\circ\) であるので、内積は、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OC}=|\overrightarrow{\rm OB}|\cdot|\overrightarrow{\rm OC}|\cdot\cos{60^\circ}$$$$\hspace{ 50 pt}=2\cdot2\cdot\frac{1}{2}$$$$\hspace{ 50 pt}=2$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OC}=2$$となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OM}$$

\(\triangle {\rm OAB}\) について、

点 \({\rm M}\) は中点であることより、\(|\overrightarrow{\rm AM}|=1\) となります。
また、\(\triangle {\rm OAM}\) は \(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、$$~~~|\overrightarrow{\rm OM}|=\sqrt{3}~,~\angle{\rm AOM}=30^\circ$$
なす角が \(30^\circ\) であるので、内積は、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OM}=|\overrightarrow{\rm OA}|\cdot|\overrightarrow{\rm OM}|\cdot\cos{30^\circ}$$$$\hspace{ 53 pt}=2\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\hspace{ 53 pt}=3$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OM}=3$$となります。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}$$

\(\triangle {\rm OAB}\) について、

\(\overrightarrow{\rm OM}\) と \(\overrightarrow{\rm AB}\) のなす角が \(90^\circ\) であるので、内積は、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=|\overrightarrow{\rm OM}|\cdot|\overrightarrow{\rm AB}|\cdot\cos{90^\circ}$$$$\hspace{ 52 pt}=\sqrt{3} \cdot 2 \cdot 0$$$$\hspace{ 52 pt}=0$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0$$となります。

 

問題解説(4)

問題$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm AC}$$

\(\triangle {\rm OAC}\) について、

\(\overrightarrow{\rm AC}\) を図のように始点が \({\rm O}\) になるように平行移動すると、\(\overrightarrow{\rm OA}\) とのなす角が \(120^\circ\) となります。
よって、内積は、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=|\overrightarrow{\rm OA}|\cdot|\overrightarrow{\rm AC}|\cdot\cos{120^\circ}$$$$\hspace{ 51 pt}=2\cdot2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$$$$\hspace{ 51 pt}=-2$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=-2$$となります。

 

今回のまとめ

空間ベクトルの内積は、平面ベクトルと同様になす角を求めるときは始点を揃えることを忘れないようにしましょう。

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