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空間ベクトルの内積②(成分利用)

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今回の問題は「空間ベクトルの内積②(成分利用)」です。

問題次の2つのベクトルの内積となす角\(\theta\) を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{a}=(2~,~2~,~-1)~,~\overrightarrow{b}=(0~,~-1~,~1)$$$${\small (2)}~\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~3~,~1)$$

 

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成分を用いた空間ベクトルの内積の解法

Point:空間ベクトルの内積(成分利用)2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) について、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array}\right) $$のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) は、

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b$$

となります。

Point:空間ベクトルのなす角

空間にある2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) を求める解法の手順は、
成分を用いた内積より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めます。
② \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) の大きさ \(|\overrightarrow{a}|\) と \(|\overrightarrow{b}|\) をそれぞれ求めます。
③ なす角 \(\theta\) を用いて内積の式を作ります。$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$④ ①と②の値を代入して、\(\cos{\theta}\) を求めて \(\theta\) を求めます。

 

問題解説:空間ベクトルの内積②(成分利用)

問題解説(1)

問題次の2つのベクトルの内積となす角\(\theta\) を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{a}=(2~,~2~,~-1)~,~\overrightarrow{b}=(0~,~-1~,~1)$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) $$よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=2\cdot0+2\cdot(-1)+(-1)\cdot1$$$$~=0-2-1$$$$~=-3~~~\cdots{\Large ①}$$
また、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のそれぞれの大きさは、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}|$$$$~=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}$$$$~=\sqrt{4+4+1}$$$$~=\sqrt{9}$$$$~=3$$
また、$$~~~~~~|\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}$$$$~=\sqrt{0+1+1}$$$$~=\sqrt{2}$$
よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) としたとき \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$$$~=3\cdot\sqrt{2}\cdot\cos{\theta}$$$$~=3\sqrt{2}\cos{\theta}~~~\cdots{\Large ②}$$
①と②より、$$\hspace{ 10 pt}3\sqrt{2}\cos{\theta}=-3$$両辺を \(3\sqrt{2}\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲で \(\theta\) を求めると、$$~~~\theta=135^\circ$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3~,~\theta=135^\circ$$となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~3~,~1)$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) $$よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=1\cdot(-2)+2\cdot3+3\cdot1$$$$~=-2+6+3$$$$~=7~~~\cdots{\Large ①}$$
また、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のそれぞれの大きさは、$$~~~~~~|\overrightarrow{a}|$$$$~=\sqrt{1^2+2^2+3^2}$$$$~=\sqrt{1+4+9}$$$$~=\sqrt{14}$$
また、$$~~~~~~|\overrightarrow{b}|$$$$~=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}$$$$~=\sqrt{4+9+1}$$$$~=\sqrt{14}$$
よって、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) としたとき \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$$$~=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\cdot\cos{\theta}$$$$~=14\cos{\theta}~~~\cdots{\Large ②}$$
①と②より、$$\hspace{ 10 pt}14\cos{\theta}=7$$両辺を \(14\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) の範囲で \(\theta\) を求めると、$$~~~\theta=60^\circ$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=7~,~\theta=60^\circ$$となります。

 

今回のまとめ

成分を用いた空間ベクトルの内積は、それ計算方法をおさえておきましょう。また、なす角を求める解法は、ベクトルの大きさと \(\cos{\theta}\) から内積を求めて連立しましょう。

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