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空間ベクトルの垂直条件

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今回の問題は「空間ベクトルの垂直条件」です。

問題\(\overrightarrow{p}=(x~,~y~,~14)\) が \(\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)\) と \(\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)\) の両方に垂直であるとき、\(x~,~y\) の値を求めよ。

 

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空間ベクトルの垂直条件

Point:空間ベクトルの垂直条件空間の2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) が垂直のとき、なす角が \(\theta=90^\circ\) となります。
よって、\(\cos{90^\circ}=0\) となるので \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積が

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$$

となります。

 

問題解説:空間ベクトルの垂直条件

問題\(\overrightarrow{p}=(x~,~y~,~14)\) が \(\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)\) と \(\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)\) の両方に垂直であるとき、\(x~,~y\) の値を求めよ。

\(\overrightarrow{p}~,~\overrightarrow{a}\) の成分は、$$~~~\overrightarrow{p}=\left(\begin{array} {c} x \\ y \\ 14 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right) $$\(\overrightarrow{p}\) と \(\overrightarrow{a}\) が垂直であるので、この2つのベクトルの内積が \(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{a}=0\) となります。
よって、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{a}=x\cdot1+y\cdot(-2)+14\cdot0$$$$\hspace{ 42 pt}=x-2y$$\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{a}=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}x-2y=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2y~~~\cdots{\Large ①}$$
次に、\(\overrightarrow{p}~,~\overrightarrow{b}\) の成分は、$$~~~\overrightarrow{p}=\left(\begin{array} {c} x \\ y \\ 14 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) $$\(\overrightarrow{p}\) と \(\overrightarrow{b}\) が垂直であるので、この2つのベクトルの内積が \(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{b}=0\) となります。
よって、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{b}=x\cdot2+y\cdot3+14\cdot1$$$$\hspace{ 42 pt}=2x+3y+14$$\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{b}=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}2x+3y+14=0$$ここで、①を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}2\cdot2y+3y+14=0$$$$\hspace{ 22 pt}4y+3y+14=0$$$$\hspace{ 45 pt}7y+14=0$$移項して、両方を \(7\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}7y=-14$$$$\hspace{ 16 pt}y=-2$$これを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2\cdot(-2)$$$$\hspace{ 19 pt}=-4$$
よって、答えは$$~~~x=-4~,~y=-2$$となります。

 

今回のまとめ

空間ベクトルの垂直条件は、内積の条件式を立式しましょう。また、複数のベクトルについて垂直ならば、それぞれについて内積=0を作りましょう。

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