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空間の位置ベクトル

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今回の問題は「空間の位置ベクトル」です。

問題空間上の3点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) \(,\) \({\rm C}(-1~,~2~,~-2)\) と原点 \({\rm O}\) について、次のベクトルの成分を求めよ。
\({\small (1)}\) 点 \({\rm S}\) が線分 \({\rm AB}\) を \(1:2\) に内分するとき、 \(\overrightarrow{\rm OS}\) の成分
\({\small (2)}\) 点 \({\rm T}\) が線分 \({\rm AB}\) を \(1:2\) に外分するとき、 \(\overrightarrow{\rm OT}\) の成分
\({\small (3)}\) \(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\) とするとき、 \(\overrightarrow{\rm OG}\) の成分

 

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空間の位置ベクトルの解法

Point:空間の内分点・外分点・重心空間において、\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})~,~ {\rm C}(\overrightarrow{c})\) とすると、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に内分する点 \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) は、

$$\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$$

\({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に外分する点 \({\rm Q}(\overrightarrow{q})\) は、

$$\overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}$$

3点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})~,~ {\rm C}(\overrightarrow{c})\) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}(\overrightarrow{g})\) は、

$$\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$$

 

問題解説:空間の位置ベクトル

問題解説(1)

問題 空間上の3点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) \(,\) \({\rm C}(-1~,~2~,~-2)\) と原点 \({\rm O}\) について、次のベクトルの成分を求めよ。
\({\small (1)}\) 点 \({\rm S}\) が線分 \({\rm AB}\) を \(1:2\) に内分するとき、 \(\overrightarrow{\rm OS}\) の成分

線分 \({\rm AB}\) を \(1:2\) に内分する点となることより、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OS}=\frac{2\cdot\overrightarrow{\rm OA}+1\cdot\overrightarrow{\rm OB}}{1+2}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{2\overrightarrow{\rm OA}+ \overrightarrow{\rm OB}}{3}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{\rm OA}+ \overrightarrow{\rm OB})$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OS}=\frac{1}{3}\left\{ 2\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \right\}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{3}\left\{ \left(\begin{array} {c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \right\}$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{3}\left(\begin{array} {c} 2+2 \\ -4+3 \\ 0+1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 27 pt}=\frac{1}{3}\left(\begin{array} {c} 4 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OS}=\left( \frac{4}{3}~,~-\frac{1}{3}~,~\frac{1}{3} \right)$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) 点 \({\rm T}\) が線分 \({\rm AB}\) を \(1:2\) に外分するとき、 \(\overrightarrow{\rm OT}\) の成分

線分 \({\rm AB}\) を \(1:2\) に外分する点となることより、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OT}=\frac{2\cdot\overrightarrow{\rm OA}-1\cdot\overrightarrow{\rm OB}}{-1+2}$$$$\hspace{ 28 pt}=\frac{2\overrightarrow{\rm OA}- \overrightarrow{\rm OB}}{1}$$$$\hspace{ 28 pt}=2\overrightarrow{\rm OA}-\overrightarrow{\rm OB}$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OT}=2\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2-2 \\ -4-3 \\ 0-1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 0 \\ -7 \\ -1 \end{array}\right)$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OT}=(0~,~-7~,~-1)$$となります。

 

問題解説(3)

問題\({\small (3)}\) \(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\) とするとき、 \(\overrightarrow{\rm OG}\) の成分

\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OG}=\frac{\overrightarrow{\rm OA}+ \overrightarrow{\rm OB}+ \overrightarrow{\rm OC}}{3}$$$$\hspace{ 29 pt}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\rm OA}+ \overrightarrow{\rm OB}+ \overrightarrow{\rm OC})$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$~~~\overrightarrow{\rm OC}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OG}=\frac{1}{3}\left\{ \left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) \right\}$$$$\hspace{ 29 pt}=\frac{1}{3}\left(\begin{array} {c} 1+2-1 \\ -2+3+2 \\ 0+1-2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 29 pt}=\frac{1}{3}\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right)$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OG}=\left( \frac{2}{3}~,~1~,~-\frac{1}{3} \right)$$となります。

 

今回のまとめ

空間の位置ベクトルは、内分点や外分点、重心の公式は平面ベクトルと同じものが使えますが、成分を計算するときは \(z\) 座標に注意しましょう。

【問題一覧】数学B:空間ベクトル
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