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空間の3点が同一直線上にある条件

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今回の問題は「空間の3点が同一直線上にある条件」です。

問題空間の2点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) と点 \({\rm P}(x~,~y~,~3)\) が同一直線上にあるとき、\(x~,~y\) の値を求めよ。

 

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空間の3点が同一直線上にある条件

Point:同一直線上にある条件

3点 \({\rm A~,~B~,~C}\) が同一直線上にある
\(\hspace{ 10 pt}~\Leftrightarrow~\) \(\overrightarrow{\rm AC}=k\overrightarrow{\rm AB}\) となる実数 \(k\) が存在する

3点 \({\rm A~,~B~,~C}\) が同一直線上にあることを示す解法の手順は、
① \(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm AC}\) をそれぞれ基準となるベクトルを用いて表します。
② \(\overrightarrow{\rm AC}=k\overrightarrow{\rm AB}\) となるような実数 \(k\) を見つけます。

 

問題解説:空間の3点が同一直線上にある条件

問題空間の2点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) と点 \({\rm P}(x~,~y~,~3)\) が同一直線上にあるとき、\(x~,~y\) の値を求めよ。

3点 \({\rm A~,~B~,~P}\) が同一直線上にあることより、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB}$$を満たす定数 \(k\) が存在すればよいことになります。
よって、\(\overrightarrow{\rm AP}\) は \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm P}(x~,~y~,~3)\) より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AP}=\left(\begin{array} {c} x \\ y \\ 3 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} x-1 \\ y+2 \\ 3 \end{array}\right)$$
また、\(\overrightarrow{\rm AB}\) は \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2-1 \\ 3+2 \\ 1+0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$$
よって、\(\overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB}\) より、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} x-1 \\ y+2 \\ 3 \end{array}\right)=k\left(\begin{array} {c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} x-1 \\ y+2 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} k \\ 5k \\ k \end{array}\right)$$それぞれの成分は、$$~~~ \begin{eqnarray} x-1=k~~~\cdots{\Large ①} \\ y+2=5k~~~\cdots{\Large ②} \\ 3=k~~~\cdots{\Large ③} \end{eqnarray}$$③より、\(k=3\) となるので、①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}x-1=3$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=3+1$$$$\hspace{ 19 pt}=4$$
また、\(k=3\) を②に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y+2=5\cdot3$$$$\hspace{ 10 pt}y+2=15$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=15-2$$$$\hspace{ 18 pt}=13$$
よって、答えは$$~~~x=4~,~y=13$$となります。

 

今回のまとめ

空間の3点が同一直線上にある条件は、条件式を立式して解いていきましょう。また、ベクトルの成分は縦書きで計算するようにしましょう。

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