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空間の4点が同一平面上にある条件

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今回の問題は「空間の4点が同一平面上にある条件」です。

問題空間上の3点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) \(,\) \({\rm C}(-1~,~2~,~-2)\) が定める平面上に点 \({\rm P}(x~,~0~,~2)\) があるとき、\(x\) の値を求めよ。

 

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同一平面上にある条件

Point:同一平面上にある条件一直線上にない3点 \({\rm A~,~B~,~C}\) の定める平面上に任意の点 \({\rm P}\) があるとき、

$$\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}$$

この式を満たす実数 \(s~,~t\) が存在することが成り立ちます。

 

問題解説:空間の4点が同一平面上にある条件

問題空間上の3点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) \(,\) \({\rm C}(-1~,~2~,~-2)\) が定める平面上に点 \({\rm P}(x~,~0~,~2)\) があるとき、\(x\) の値を求めよ。

4点が同一平面上にあることより、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}~~~\cdots{\Large ①}$$この式を満たす実数 \(s~,~t\) が存在すればよいので、
\({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm P}(x~,~0~,~2)\) より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AP}=\left(\begin{array} {c} x \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} x-1 \\ 0+2 \\ 2-0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} x-1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$$
\({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2-1 \\ 3+2 \\ 1-0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$$
\({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm C}(-1~,~2~,~-2)\) より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AC}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -1-1 \\ 2+2 \\ -2-0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -2 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)$$
これらの成分を①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} x-1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)=s\left(\begin{array} {c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array} {c} -2 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} x-1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} s \\ 5s \\ s \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -2t \\ 4t \\ -2t \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} x-1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} s-2t \\ 5s+4t \\ s-2t \end{array}\right)$$
それぞれの成分は、$$~~~\begin{eqnarray} x-1=s-2t~~\cdots{\Large ②} \\ 2=5s+4t~~~\cdots{\Large ③} \\ 2=s-2t~~~\cdots{\Large ④} \end{eqnarray}$$
③+④×2より、$$\hspace{ 10 pt}2+2\times2=(5s+4t)+(s-2t)\times2$$$$\hspace{ 30 pt}2+4=5s+4t+2s-4t$$$$\hspace{ 40 pt}6=7s$$両辺を入れ替えて \(7\) で割ると$$\hspace{ 10 pt}7s=6$$$$\hspace{ 18 pt}s=\frac{6}{7}$$これを④に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}2=\frac{6}{7}-2t$$移項すると$$\hspace{ 10 pt}2t=\frac{6}{7}-2$$$$\hspace{ 10 pt}2t=\frac{6}{7}-\frac{14}{7}$$$$\hspace{ 10 pt}2t=-\frac{8}{7}$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}t=-\frac{4}{7}$$
よって、\(s~,~t\) の値を②に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}x-1=\frac{6}{7}-2\left( -\frac{4}{7} \right)$$$$\hspace{ 10 pt}x-1=\frac{6}{7}+\frac{8}{7}$$$$\hspace{ 10 pt}x-1=\frac{14}{7}$$$$\hspace{ 10 pt}x-1=2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2+1$$$$\hspace{ 18 pt}=3$$
よって、答えは \(x=3\) となります。

 

今回のまとめ

空間の4点が同一平面上にある条件は、3つの点が定める平面に他の1点があると考えて条件式を立式しましょう。

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