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延長線が平面上にある条件

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今回の問題は「延長線が平面上にある条件」です。

問題四面体 \({\rm OABC}\) について、辺 \({\rm OA}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm D}\) 、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) 、線分 \({\rm DM}\) を \(2:5\) に内分する点を \({\rm S}\) とするとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{\rm OS}\) を \(\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB}~,~\overrightarrow{\rm OC}\) を用いて表せ。
\({\small (2)}\) 面 \({\rm ABC}\) 上の点 \({\rm P}\) が線分 \({\rm OS}\) の延長線上にあるとき、\({\rm OS:SP}\) を求めよ。

 

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延長線が平面上にある条件

Point:延長線が平面上にある条件\(\overrightarrow{\rm OS}\) を延ばして、3点 \({\rm A~,~B~,~C}\) の作る平面と点 \({\rm P}\) で交わるとき、次の2つの条件が成り立ちます。
(1) 3点 \({\rm O~,~S~,~P}\) は同一直線上にあるので、$$~~~\overrightarrow{\rm OP}=k\overrightarrow{\rm OS}$$これを満たす \(k\) が存在する。
(2) 4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~P}\) が同一平面上にあるので、$$~~~\overrightarrow{\rm OP}=l\overrightarrow{\rm OA}+m\overrightarrow{\rm OB}+n\overrightarrow{\rm OC}$$これより、$$~~~l+m+n=1$$となります。
 
解法の手順は、
① \(\overrightarrow{\rm OS}\) を \(\overrightarrow{\rm OA}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OB}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OC}\) を用いて表します。
② (1)の条件式より、\(\overrightarrow{\rm OS}\) を \(\overrightarrow{\rm OA}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OB}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OC}\) を用いて表し、(2)の条件より係数の和が 1 となる式を作ります。
③ 条件式を解き \(k\) を求めます。

 

問題解説:延長線が平面上にある条件

問題解説(1)

問題四面体 \({\rm OABC}\) について、辺 \({\rm OA}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm D}\) 、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) 、線分 \({\rm DM}\) を \(2:5\) に内分する点を \({\rm S}\) とするとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{\rm OS}\) を \(\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB}~,~\overrightarrow{\rm OC}\) を用いて表せ。

図は次のようになります。

\(\overrightarrow{\rm OD}\) は、点 \({\rm D}\) が線分 \({\rm OA}\) を \(3:2\) に内分するとことより、\({\Large \frac{3}{5}}\) 倍となるので、$$~~~\overrightarrow{\rm OD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{\rm OA}~~~\cdots{\Large ①}$$
\(\overrightarrow{\rm OM}\) は、点 \({\rm M}\) が線分 \({\rm BC}\) の中点より、$$~~~\overrightarrow{\rm OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OC}~~~\cdots{\Large ②}$$
次に \(\triangle {\rm ODM}\) について、

点 \({\rm S}\) は、線分 \({\rm DM}\) を \(2:5\) に内分しているので、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OS}=\frac{5\overrightarrow{\rm OD}+2\overrightarrow{\rm OM}}{2+5}$$$$\hspace{ 28 pt}=\frac{5}{7}\overrightarrow{\rm OD}+\frac{2}{7}\overrightarrow{\rm OM}$$これを①、②に代入すると、$$\hspace{ 28 pt}=\frac{5}{7}\cdot\frac{3}{5}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{2}{7}\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OC} \right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\frac{3}{7}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{1}{7}\overrightarrow{\rm OB}+\frac{1}{7}\overrightarrow{\rm OC}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OS}=\frac{3}{7}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{1}{7}\overrightarrow{\rm OB}+\frac{1}{7}\overrightarrow{\rm OC}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) 面 \({\rm ABC}\) 上の点 \({\rm P}\) が線分 \({\rm OS}\) の延長線上にあるとき、\({\rm OS:SP}\) を求めよ。

図は次のようになります。

3点 \({\rm O~,~S~,~P}\) は同一直線上にあることより、$$~~~\overrightarrow{\rm OP}=k\overrightarrow{\rm OS}~~~\cdots{\Large ①}$$(1)の答えより \(\overrightarrow{\rm OS}\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OP}=k\left(\frac{3}{7}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{1}{7}\overrightarrow{\rm OB}+\frac{1}{7}\overrightarrow{\rm OC}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\frac{3}{7}k\overrightarrow{\rm OA}+\frac{1}{7}k\overrightarrow{\rm OB}+\frac{1}{7}k\overrightarrow{\rm OC}$$
ここで、4点 \({\rm O~,~A~,~B~,~C}\) が同一平面上にあることより、$$\hspace{ 10 pt}\frac{3}{7}k+\frac{1}{7}k+\frac{1}{7}k=1$$$$\hspace{ 29 pt}\frac{3+1+1}{7}k=1$$$$\hspace{ 64 pt}\frac{5}{7}k=1$$両辺に \({\Large \frac{7}{5}}\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}k=\frac{7}{5}$$
よって、①より、$$~~~\overrightarrow{\rm OP}=\frac{7}{5}\overrightarrow{\rm OS}$$図で表すと、

よって、線分 \({\rm SP}\) の比は \(7-5=2\) となるので、答えは$$~~~{\rm OS:SP}=5:2$$となります。

 

今回のまとめ

延長線が平面上にある条件は、延長線をベクトルで表して同一平面上にある条件を当てはめる解法を覚えておきましょう。

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