共通部分を置き換える式の展開

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.16 練習13(3)

\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(x^2+3)+2x\}\{(x^2+3)-2x\}\end{eqnarray}\)

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\(x^2+3=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+2x)(A-2x)\\[3pt]~~~&=&A^2-(2x)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-4x^2\end{eqnarray}\)

---

\(A=x^2+3\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+3)^2-4x^2\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot 3+3^2-4x^2\\[3pt]~~~&=&x^4+6x^2+9-4x^2\\[3pt]~~~&=&x^4+2x^2+9\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.16 練習13(4)

\(\begin{eqnarray}~~~(x-y+z)(x+y-z)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{x-(y-z)\}\{x+(y-z)\}\end{eqnarray}\)

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\(y-z=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-A)(x+A)\\[3pt]~~~&=&x^2-A^2\end{eqnarray}\)

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\(A=y-z\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^2-(y-z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2-(y^2-2yz+z^2)\\[3pt]~~~&=&x^2-y^2+2yz-z^2\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.24 問題 2(4)

\(\begin{eqnarray}~~~(x^2-2x-1)(x^2-2x-2)\end{eqnarray}\)

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\(x^2-2x=A\) とおき、展開すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-1)(A-2)\\[3pt]~~~&=&A^2+\{(-1)+(-2)\}A+(-1) \cdot (-2)\\[3pt]~~~&=&A^2-3A+2\end{eqnarray}\)

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\(A=x^2-2x\) を元に戻し、さらに展開すると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.49 演習問題B 7(1)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.50 章末問題B 8(1)

\(\begin{eqnarray}~~~(a+b+c+d)(a+b-c-d)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(a+b)+(c+d)\}\{(a+b)-(c+d)\}\end{eqnarray}\)

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\(a+b=A~,~c+d=B\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+B)(A-B)\\[3pt]~~~&=&A^2-B^2\end{eqnarray}\)

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\(A=a+b~,~B=c+d\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2-(c+d)^2\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-(c^2+2cd+d^2)\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-c^2-2cd-d^2\end{eqnarray}\)

数研出版｜数学Ⅰ[712] p.49 演習問題B 7(2)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.50 章末問題B 8(2)

\(\begin{eqnarray}~~~(a+b+c)^2-(a-b-c)^2\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b+c)^2-\{a-(b+c)\}^2\end{eqnarray}\)

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\(b+c=A\) とおくと、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+A)^2-(a-A)^2\end{eqnarray}\)

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2乗−2乗の因数分解を利用すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(a+A)+(a-A)\}\{(a+A)-(a-A)\}\\[3pt]~~~&=&2a \cdot 2A\\[3pt]~~~&=&4aA\end{eqnarray}\)

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\(A=b+c\) を元に戻すと、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&4a(b+c)\\[3pt]~~~&=&4ab+4ac\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.15 練習15(1)

\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(x^2+2)+3x\}\{(x^2+2)-3x\}\end{eqnarray}\)

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\(x^2+2=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3x)(A-3x)\\[3pt]~~~&=&A^2-(3x)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-9x^2\end{eqnarray}\)

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\(A=x^2+2\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+2)^2-9x^2\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot 2+2^2-9x^2\\[3pt]~~~&=&x^4+4x^2+4-9x^2\\[3pt]~~~&=&x^4-5x^2+4\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.15 練習15(2)

\(\begin{eqnarray}~~~(x-y-z)(x-y+z)\end{eqnarray}\)

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\(x-y=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-z)(A+z)\\[3pt]~~~&=&A^2-z^2\end{eqnarray}\)

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\(A=x-y\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-y)^2-z^2\\[3pt]~~~&=&x^2-2xy+y^2-z^2\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.24 問題 2(5)

\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(x^2+2)+2x\}\{(x^2+2)-2x\}\end{eqnarray}\)

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\(x^2+2=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+2x)(A-2x)\\[3pt]~~~&=&A^2-(2x)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-4x^2\end{eqnarray}\)

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\(A=x^2+2\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+2)^2-4x^2\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot 2+2^2-4x^2\\[3pt]~~~&=&x^4+4x^2+4-4x^2\\[3pt]~~~&=&x^4+4\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.24 問題 2(6)

\(\begin{eqnarray}~~~(x+y-z)(x-y+z)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{x+(y-z)\}\{x-(y-z)\}\end{eqnarray}\)

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\(y-z=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+A)(x-A)\\[3pt]~~~&=&x^2-A^2\end{eqnarray}\)

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\(A=y-z\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^2-(y-z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2-(y^2-2yz+z^2)\\[3pt]~~~&=&x^2-y^2+2yz-z^2\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 1(3)

\(\begin{eqnarray}~~~(x^2-x+1)(x^2-x+3)\end{eqnarray}\)

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\(x^2-x=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+1)(A+3)\\[3pt]~~~&=&A^2+(1+3)A+1 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&A^2+4A+3\end{eqnarray}\)

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\(A=x^2-x\) を元に戻し、さらに展開すると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.15 練習14(1)

\(\begin{eqnarray}~~~(3a-b+2)(3a-b-2)\end{eqnarray}\)

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\(3a-b=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+2)(A-2)\\[3pt]~~~&=&A^2-2^2\\[3pt]~~~&=&A^2-4\end{eqnarray}\)

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\(A=3a-b\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(3a-b)^2-4\\[3pt]~~~&=&(3a)^2+2 \cdot 3a \cdot (-b)+(-b)^2-4\\[3pt]~~~&=&9a^2-6ab+b^2-4\end{eqnarray}\)

数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.15 練習14(2)

\(\begin{eqnarray}~~~(x-y+3)(x-y-2)\end{eqnarray}\)

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\(x-y=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3)(A-2)\\[3pt]~~~&=&A^2+\{3+(-2)\}A+3 \cdot (-2)\\[3pt]~~~&=&A^2+A-6\end{eqnarray}\)

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\(A=x-y\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-y)^2+(x-y)-6\\[3pt]~~~&=&x^2-2xy+y^2+x-y-6\end{eqnarray}\)

数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.15 深める

\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\}\end{eqnarray}\)

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\(x^2+1=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+x)(A-x)\\[3pt]~~~&=&A^2-x^2\end{eqnarray}\)

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\(A=x^2+1\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+1)^2-x^2\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot 1+1^2-x^2\\[3pt]~~~&=&x^4+2x^2+1-x^2\\[3pt]~~~&=&x^4+x^2+1\end{eqnarray}\)

数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.26 補充問題 2(6)

\(\begin{eqnarray}~~~(a+b-c)(a-b+c)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{a+(b-c)\}\{a-(b-c)\}\end{eqnarray}\)

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\(b-c=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+A)(a-A)\\[3pt]~~~&=&a^2-A^2\end{eqnarray}\)

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\(A=b-c\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-(b-c)^2\\[3pt]~~~&=&a^2-(b^2-2bc+c^2)\\[3pt]~~~&=&a^2-b^2+2bc-c^2\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.12 問15(1)

\(\begin{eqnarray}~~~(a+b)(a+b-5)\end{eqnarray}\)

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\(a+b=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&A(A-5)\\[3pt]~~~&=&A^2-5A\end{eqnarray}\)

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\(A=a+b\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2-5(a+b)\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-5a-5b\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.12 問15(2)

\(\begin{eqnarray}~~~(a-b+3)(a-b-7)\end{eqnarray}\)

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\(a-b=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3)(A-7)\\[3pt]~~~&=&A^2+\{3+(-7)\}A+3 \cdot (-7)\\[3pt]~~~&=&A^2-4A-21\end{eqnarray}\)

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\(A=a-b\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-b)^2-4(a-b)-21\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2-4a+4b-21\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.12 問15(3)

\(\begin{eqnarray}~~~(x-y-z)(x+y-z)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(x-z)-y\}\{(x-z)+y\}\end{eqnarray}\)

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\(x-z=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-y)(A+y)\\[3pt]~~~&=&A^2-y^2\end{eqnarray}\)

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\(A=x-z\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-z)^2-y^2\\[3pt]~~~&=&x^2-2xz+z^2-y^2\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.12 問15(4)

\(\begin{eqnarray}~~~(x+y-z)(x-y+z)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{x+(y-z)\}\{x-(y-z)\}\end{eqnarray}\)

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\(y-z=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+A)(x-A)\\[3pt]~~~&=&x^2-A^2\end{eqnarray}\)

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\(A=y-z\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^2-(y-z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2-(y^2-2yz+z^2)\\[3pt]~~~&=&x^2-y^2+2yz-z^2\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.19 問題 2(3)

\(\begin{eqnarray}~~~\left(a-2b-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c\right)\left(a+2b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c\right)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left\{a-\left(2b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c\right)\right\}\left\{a+\left(2b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c\right)\right\}\end{eqnarray}\)

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\(2b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-A)(a+A)\\[3pt]~~~&=&a^2-A^2\end{eqnarray}\)

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\(A=2b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-\left(2b+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c\right)^2\\[5pt]~~~&=&a^2-\left\{(2b)^2+2 \cdot 2b \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}c\right)^2\right\}\\[5pt]~~~&=&a^2-\left(4b^2+2bc+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}c^2\right)\\[5pt]~~~&=&a^2-4b^2-2bc-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}c^2\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.48 練習問題A 2(1)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.50 Level Up 1(3)

\(\begin{eqnarray}~~~(a+b-c+d)(a-b+c+d)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(a+d)+(b-c)\}\{(a+d)-(b-c)\}\end{eqnarray}\)

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\(a+d=A~,~b-c=B\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+B)(A-B)\\[3pt]~~~&=&A^2-B^2\end{eqnarray}\)

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\(A=a+d~,~B=b-c\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+d)^2-(b-c)^2\\[3pt]~~~&=&a^2+2ad+d^2-(b^2-2bc+c^2)\\[3pt]~~~&=&a^2+2ad+d^2-b^2+2bc-c^2\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.15 問10(1)

\(\begin{eqnarray}~~~(x+y)(x+y-z)\end{eqnarray}\)

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\(x+y=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&A(A-z)\\[3pt]~~~&=&A^2-Az\end{eqnarray}\)

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\(A=x+y\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)^2-(x+y)z\\[3pt]~~~&=&x^2+2xy+y^2-xz-yz\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.15 問10(2)

\(\begin{eqnarray}~~~(x-y+3)(x-y-7)\end{eqnarray}\)

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\(x-y=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3)(A-7)\\[3pt]~~~&=&A^2+\{3+(-7)\}A+3 \cdot (-7)\\[3pt]~~~&=&A^2-4A-21\end{eqnarray}\)

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\(A=x-y\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-y)^2-4(x-y)-21\\[3pt]~~~&=&x^2-2xy+y^2-4x+4y-21\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.25 Training 3(1)

\(\begin{eqnarray}~~~(a+b+c)(a-b+c)\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{(a+c)+b\}\{(a+c)-b\}\end{eqnarray}\)

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\(a+c=A\) とおき、展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+b)(A-b)\\[3pt]~~~&=&A^2-b^2\end{eqnarray}\)

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\(A=a+c\) を元に戻し、さらに展開すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+c)^2-b^2\\[3pt]~~~&=&a^2+2ac+c^2-b^2\end{eqnarray}\)