このページは、「(a+b+c)²の展開」の練習問題アーカイブページとなります。
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(a+b+c)²の展開 で確認できます。
目次
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の式を展開せよ。
\((a+b-c)^2\)
\((a+b-c)^2\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.16 練習12(1)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.15 練習14(1)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.16 練習15(1)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.12 問16(1)
\(\begin{eqnarray}~~~(a+b-c)^2\end{eqnarray}\)
\(a+b=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-c)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-2 \cdot A \cdot c+c^2\\[3pt]~~~&=&A^2-2cA+c^2\end{eqnarray}\)
\(A=a+b\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2-2c(a+b)+c^2\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-2ca-2cb+c^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\end{eqnarray}\)
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(a \to b \to c \to a \to \cdots\) とループするように書き並べる。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+b-c)^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+(-c)^2+2 \cdot a \cdot b+2 \cdot b \cdot (-c)+2 \cdot (-c) \cdot a\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の式を展開せよ。
\((x-2y+z)^2\)
\((x-2y+z)^2\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.16 練習12(2)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2y+z)^2\end{eqnarray}\)
\(x-2y=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot z+z^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2zA+z^2\end{eqnarray}\)
\(A=x-2y\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-2y)^2+2z(x-2y)+z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+2 \cdot x \cdot (-2y)+(-2y)^2+2zx-4zy+z^2\\[3pt]~~~&=&x^2-4xy+4y^2+2zx-4zy+z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+z^2-4xy-4yz+2zx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(x \to y \to z \to x \to \cdots\) とループするように書き並べる。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-2y+z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+(-2y)^2+z^2+2 \cdot x \cdot (-2y)+2 \cdot (-2y) \cdot z+2 \cdot z \cdot x\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+z^2-4xy-4yz+2zx\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の式を展開せよ。
\((3a+b-2c)^2\)
\((3a+b-2c)^2\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.24 問題 2(3)
\(\begin{eqnarray}~~~(3a+b-2c)^2\end{eqnarray}\)
\(3a+b=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-2c)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-2 \cdot A \cdot 2c+(2c)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-4cA+4c^2\end{eqnarray}\)
\(A=3a+b\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(3a+b)^2-4c(3a+b)+4c^2\\[3pt]~~~&=&9a^2+2 \cdot 3a \cdot b+b^2-12ca-4cb+4c^2\\[3pt]~~~&=&9a^2+6ab+b^2-12ca-4cb+4c^2\\[3pt]~~~&=&9a^2+b^2+4c^2+6ab-4bc-12ca\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(a \to b \to c \to a \to \cdots\) とループするように書き並べる。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(3a+b-2c)^2\\[3pt]~~~&=&(3a)^2+b^2+(-2c)^2+2 \cdot 3a \cdot b+2 \cdot b \cdot (-2c)+2 \cdot (-2c) \cdot 3a\\[3pt]~~~&=&9a^2+b^2+4c^2+6ab-4bc-12ca\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の式を展開せよ。
\((x+2y+3z)^2\)
\((x+2y+3z)^2\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.15 練習14(2)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.16 練習15(2)
\(\begin{eqnarray}~~~(x+2y+3z)^2\end{eqnarray}\)
\(x+2y=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot 3z+(3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+6zA+9z^2\end{eqnarray}\)
\(A=x+2y\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+2y)^2+6z(x+2y)+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+2 \cdot x \cdot 2y+(2y)^2+6zx+12zy+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+4xy+4y^2+6zx+12zy+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+9z^2+4xy+12yz+6zx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(x \to y \to z \to x \to \cdots\) とループするように書き並べる。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+2y+3z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+(2y)^2+(3z)^2+2 \cdot x \cdot 2y+2 \cdot 2y \cdot 3z+2 \cdot 3z \cdot x\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+9z^2+4xy+12yz+6zx\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の式を展開せよ。
\((x-a+1)^2\)
\((x-a+1)^2\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.24 問題 2(4)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.26 補充問題 2(5)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-a+1)^2\end{eqnarray}\)
\(x-a=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+1)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot 1+1^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2A+1\end{eqnarray}\)
\(A=x-a\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-a)^2+2(x-a)+1\\[3pt]~~~&=&x^2-2ax+a^2+2x-2a+1\\[3pt]~~~&=&x^2+a^2-2ax+2x-2a+1\end{eqnarray}\)
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-a+1)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+(-a)^2+1^2+2 \cdot x \cdot (-a)+2 \cdot (-a) \cdot 1+2 \cdot 1 \cdot x\\[3pt]~~~&=&x^2+a^2+1-2ax-2a+2x\\[3pt]~~~&=&x^2+a^2-2ax+2x-2a+1\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の式を展開せよ。
\((a-b-c)^2\)
\((a-b-c)^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.12 問16(2)
\(\begin{eqnarray}~~~(a-b-c)^2\end{eqnarray}\)
\(a-b=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-c)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-2 \cdot A \cdot c+c^2\\[3pt]~~~&=&A^2-2cA+c^2\end{eqnarray}\)
\(A=a-b\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-b)^2-2c(a-b)+c^2\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2-2ca+2cb+c^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca\end{eqnarray}\)
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(a \to b \to c \to a \to \cdots\) とループするように書き並べる。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a-b-c)^2\\[3pt]~~~&=&a^2+(-b)^2+(-c)^2+2 \cdot a \cdot (-b)+2 \cdot (-b) \cdot (-c)+2 \cdot (-c) \cdot a\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07次の式を展開せよ。
\((x-2y+3z)^2\)
\((x-2y+3z)^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.12 問16(3)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2y+3z)^2\end{eqnarray}\)
\(x-2y=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot 3z+(3z)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+6zA+9z^2\end{eqnarray}\)
\(A=x-2y\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-2y)^2+6z(x-2y)+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+2 \cdot x \cdot (-2y)+(-2y)^2+6zx-12zy+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2-4xy+4y^2+6zx-12zy+9z^2\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(x \to y \to z \to x \to \cdots\) とループするように書き並べる。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-2y+3z)^2\\[3pt]~~~&=&x^2+(-2y)^2+(3z)^2+2 \cdot x \cdot (-2y)+2 \cdot (-2y) \cdot 3z+2 \cdot 3z \cdot x\\[3pt]~~~&=&x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08次の式を展開せよ。
\((x^2-x+1)^2\)
\((x^2-x+1)^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.19 問題 2(2)
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2-x+1)^2\end{eqnarray}\)
\(x^2-x=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+1)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot 1+1^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2A+1\end{eqnarray}\)
\(A=x^2-x\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2-x)^2+2(x^2-x)+1\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^3+x^2+2x^2-2x+1\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^3+3x^2-2x+1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-x+1)^2\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+(-x)^2+1^2+2 \cdot x^2 \cdot (-x)+2 \cdot (-x) \cdot 1+2 \cdot 1 \cdot x^2\\[3pt]~~~&=&x^4+x^2+1-2x^3-2x+2x^2\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^3+3x^2-2x+1\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ09
問題アーカイブ09\((a+2b-3)^2\) を展開せよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.16 問12
\(\begin{eqnarray}~~~(a+2b-3)^2\end{eqnarray}\)
\(a+2b=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-3)^2\\[3pt]~~~&=&A^2-2 \cdot A \cdot 3+3^2\\[3pt]~~~&=&A^2-6A+9\end{eqnarray}\)
\(A=a+2b\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+2b)^2-6(a+2b)+9\\[3pt]~~~&=&a^2+2 \cdot a \cdot 2b+(2b)^2-6a-12b+9\\[3pt]~~~&=&a^2+4ab+4b^2-6a-12b+9\\[3pt]~~~&=&a^2+4b^2+4ab-6a-12b+9\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(a \to b \to c \to a \to \cdots\) とループするように書き並べる。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+2b-3)^2\\[3pt]~~~&=&a^2+(2b)^2+(-3)^2+2 \cdot a \cdot 2b+2 \cdot 2b \cdot (-3)+2 \cdot (-3) \cdot a\\[3pt]~~~&=&a^2+4b^2+9+4ab-12b-6a\\[3pt]~~~&=&a^2+4b^2+4ab-6a-12b+9\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ10
問題アーカイブ10\((a+b+c+d)^2\) を展開せよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.16 問13
\(\begin{eqnarray}~~~(a+b+c+d)^2\end{eqnarray}\)
\(a+b=A~,~c+d=B\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+B)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2AB+B^2\end{eqnarray}\)
\(A=a+b~,~B=c+d\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2+2(a+b)(c+d)+(c+d)^2\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2+2(ac+ad+bc+bd)+c^2+2cd+d^2\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2+2ac+2ad+2bc+2bd+c^2+2cd+d^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
問題アーカイブ11
問題アーカイブ11次の式を展開せよ。
\((2a-3b+1)^2\)
\((2a-3b+1)^2\)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.25 Training 3(2)
\(\begin{eqnarray}~~~(2a-3b+1)^2\end{eqnarray}\)
\(2a-3b=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+1)^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2 \cdot A \cdot 1+1^2\\[3pt]~~~&=&A^2+2A+1\end{eqnarray}\)
\(A=2a-3b\) と元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2a-3b)^2+2(2a-3b)+1\\[3pt]~~~&=&4a^2-12ab+9b^2+4a-6b+1\\[3pt]~~~&=&4a^2+9b^2-12ab+4a-6b+1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ 答えを書くときは、降べきの順かつ \(a \to b \to c \to a \to \cdots\) とループするように書き並べる。
【別解】 公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}&&(a+b+c)^2\\[3pt]&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2a-3b+1)^2\\[3pt]~~~&=&(2a)^2+(-3b)^2+1^2+2 \cdot 2a \cdot (-3b)+2 \cdot (-3b) \cdot 1+2 \cdot 1 \cdot 2a\\[3pt]~~~&=&4a^2+9b^2+1-12ab-6b+4a\\[3pt]~~~&=&4a^2+9b^2-12ab+4a-6b+1\end{eqnarray}\)
