このページは、「順序や組合せを工夫する展開」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
順序や組合せを工夫する展開 で確認できます。
問題アーカイブ01
\((a+b)^2(a-b)^2\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.16 練習13(1)
\((a+b)^2\) と \((a-b)^2\) をそれぞれ先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、全体の2乗と考えて、中の展開を先に行う。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+b)^2(a-b)^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(a+b)(a-b)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(a^2-b^2)^2
\\[3pt]~~~&=&(a^2)^2+2 \cdot a^2 \cdot (-b^2)+(-b^2)^2
\\[3pt]~~~&=&a^4-2a^2b^2+b^4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^4-2a^2b^2+b^4\) となる
問題アーカイブ02
\((x^2+1)(x+1)(x-1)\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.16 練習13(2)
\((x^2+1)(x+1)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、\(a^2-b^2\) の形になるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2+1)(x+1)(x-1)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+1)(x^2-1^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+1)(x^2-1)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-1^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-1\) となる
問題アーカイブ03
\((a-b)(a+b)(a^2+b^2)\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.24 問題 2(5)
\((a-b)(a+b)\) を先に展開し、全体を \((x-y)(x+y)\) の形になるようにする。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a-b)(a+b)(a^2+b^2)
\\[3pt]~~~&=&(a^2-b^2)(a^2+b^2)
\\[3pt]~~~&=&(a^2)^2-(b^2)^2
\\[3pt]~~~&=&a^4-b^4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^4-b^4\) となる
問題アーカイブ04
\((x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.24 問題 2(6)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.24 問題 2(7)
\((x+1)(x-1)\) を先に展開し、順に \(a^2-b^2\) の形になるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)
\\[3pt]~~~&=&(x^4+1)(x^2+1)(x^2-1)
\\[3pt]~~~&=&(x^4+1)(x^4-1)
\\[3pt]~~~&=&(x^4)^2-1^2
\\[3pt]~~~&=&x^8-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^8-1\) となる
問題アーカイブ05
\((x-4)(x-1)(x+1)(x+4)\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.24 問題 2(7)
\((x-4)(x-1)\) と \((x+1)(x+4)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、同じ部分が出てくるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-4)(x-1)(x+1)(x+4)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x-4)(x+4)\,\right\}\left\{\,(x-1)(x+1)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2-16)(x^2-1)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+\{(-16)+(-1)\}x^2+(-16)\cdot(-1)
\\[3pt]~~~&=&x^4-17x^2+16\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-17x^2+16\) となる
問題アーカイブ06
\((x+4)(x+2)(x-1)(x-3)\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.24 問題 2(8)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.24 問題 2(9)
\((x+4)(x+2)\) と \((x-1)(x-3)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、同じ部分が出てくるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+4)(x+2)(x-1)(x-3)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+4)(x-3)\,\right\}\left\{\,(x+2)(x-1)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+x-12)(x^2+x-2)\end{eqnarray}\)
\(x^2+x=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-12)(A-2)
\\[3pt]~~~&=&A^2-14A+24\end{eqnarray}\)
\(A=x^2+x\) を元に戻し、さらに展開すると、
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot x+x^2-14x^2-14x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+2x^3+x^2-14x^2-14x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+2x^3-13x^2-14x+24\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(x^4+2x^3-13x^2-14x+24\) となる
問題アーカイブ07
\((x-a)(x-b)(x-c)\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.48 演習問題A 1(1)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x-a)(x-b)\,\right\}(x-c)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-bx-ax+ab)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,x^2-(a+b)x+ab\,\right\}(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-(a+b)x^2+(a+b)cx+abx-abc
\\[3pt]~~~&=&x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc\) となる
問題アーカイブ08
\((x-1)(x-3)(x^2-4x)\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.48 演習問題A 1(2)
\((x-1)(x-3)\) を先に展開すると \(x^2-4x+3\) となり、\(x^2-4x\) が共通部分として出てくる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-1)(x-3)(x^2-4x)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x+3)(x^2-4x)\end{eqnarray}\)
\(x^2-4x=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+3) \cdot A
\\[3pt]~~~&=&A^2+3A\end{eqnarray}\)
\(A=x^2-4x\) を元に戻し、さらに展開すると、
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-4x)+(-4x)^2+3x^2-12x
\\[3pt]~~~&=&x^4-8x^3+16x^2+3x^2-12x
\\[3pt]~~~&=&x^4-8x^3+19x^2-12x\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(x^4-8x^3+19x^2-12x\) となる
問題アーカイブ09
\((x+1)(x+2)(x-5)(x-6)\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.48 演習問題A 1(3)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 1(4)
\((x+1)(x+2)\) と \((x-5)(x-6)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、同じ部分が出てくるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)(x+2)(x-5)(x-6)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+1)(x-5)\,\right\}\left\{\,(x+2)(x-6)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4x-5)(x^2-4x-12)\end{eqnarray}\)
\(x^2-4x=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-5)(A-12)
\\[3pt]~~~&=&A^2-17A+60\end{eqnarray}\)
\(A=x^2-4x\) を元に戻し、さらに展開すると、
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-4x)+(-4x)^2-17x^2+68x+60
\\[3pt]~~~&=&x^4-8x^3+16x^2-17x^2+68x+60
\\[3pt]~~~&=&x^4-8x^3-x^2+68x+60\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(x^4-8x^3-x^2+68x+60\) となる
問題アーカイブ10
\((x-2)^2(x+2)^2(x^2+4)^2\)
数研出版｜数学Ⅰ[712] p.48 演習問題A 1(4)
\((x-2)^2(x+2)^2\) は全体の2乗と考えて中の展開を先に行い、さらに \((x^2+4)^2\) との積で \(a^2-b^2\) の形になるように工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-2)^2(x+2)^2(x^2+4)^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x-2)(x+2)(x^2+4)\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x^2-4)(x^2+4)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(x^4-16)^2
\\[3pt]~~~&=&(x^4)^2+2 \cdot x^4 \cdot (-16)+(-16)^2
\\[3pt]~~~&=&x^8-32x^4+256\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^8-32x^4+256\) となる
問題アーカイブ11
\((x+1)^2(x-1)^2\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.15 練習15(3)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.16 練習16(1)
\((x+1)^2\) と \((x-1)^2\) をそれぞれ先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、全体の2乗と考えて、中の展開を先に行う。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)^2(x-1)^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+1)(x-1)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-1)+(-1)^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-2x^2+1\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-2x^2+1\) となる
問題アーカイブ12
\((x^2+1)(x+1)(x-1)\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.15 練習15(4)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.16 練習16(2)
\((x^2+1)(x+1)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、\(a^2-b^2\) の形になるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2+1)(x+1)(x-1)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+1)(x^2-1^2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+1)(x^2-1)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-1^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-1\) となる
問題アーカイブ13
\((x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.24 問題 2(8)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.52 章末問題A 1(3)
\((x-1)(x+1)\) と \((x-2)(x+2)\) をそれぞれ \(a^2-b^2\) の形で展開し、全体をさらに展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)(x^2-4)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+\{(-1)+(-4)\}x^2+(-1)\cdot(-4)
\\[3pt]~~~&=&x^4-5x^2+4\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-5x^2+4\) となる
問題アーカイブ14
\((x-1)(x-2)(x+3)(x+6)\)
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[713] p.49 章末問題A 1(5)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.19 問題 2(4)
\((x-1)(x-2)\) と \((x+3)(x+6)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、同じ部分が出てくるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x-1)(x+6)\,\right\}\left\{\,(x-2)(x+3)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+5x-6)(x^2+x-6)\end{eqnarray}\)
\(x^2-6=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+5x)(A+x)
\\[3pt]~~~&=&A^2+6xA+5x^2\end{eqnarray}\)
\(A=x^2-6\) を元に戻し、さらに展開すると、
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-6)+(-6)^2+6x^3-36x+5x^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-12x^2+36+6x^3+5x^2-36x
\\[3pt]~~~&=&x^4+6x^3-7x^2-36x+36\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(x^4+6x^3-7x^2-36x+36\) となる
問題アーカイブ15
\((x-1)(x+2)(x-3)(x+4)\)
数研出版｜新編数学Ⅰ[714] p.53 章末問題B 8
順次展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、同じ部分が出てくるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x-1)(x+2)\,\right\}\left\{\,(x-3)(x+4)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+x-2)(x^2+x-12)\end{eqnarray}\)
\(x^2+x=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-2)(A-12)
\\[3pt]~~~&=&A^2-14A+24\end{eqnarray}\)
\(A=x^2+x\) を元に戻し、さらに展開すると、
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot x+x^2-14x^2-14x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+2x^3+x^2-14x^2-14x+24
\\[3pt]~~~&=&x^4+2x^3-13x^2-14x+24\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(x^4+2x^3-13x^2-14x+24\) となる
問題アーカイブ16
① \(\left\{\,(x+2)(x+3)\,\right\}\left\{\,(x-2)(x-3)\,\right\}\)
② \(\left\{\,(x+2)(x-3)\,\right\}\left\{\,(x+3)(x-2)\,\right\}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.13 問17
①
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+2)(x+3)\,\right\}\left\{\,(x-2)(x-3)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+5x+6)(x^2-5x+6)\end{eqnarray}\)
\(x^2+6=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+5x)(A-5x)
\\[3pt]~~~&=&A^2-25x^2\end{eqnarray}\)
\(A=x^2+6\) を元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+6)^2-25x^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot 6+6^2-25x^2
\\[3pt]~~~&=&x^4+12x^2+36-25x^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-13x^2+36\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-13x^2+36\) となる
②
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+2)(x-3)\,\right\}\left\{\,(x+3)(x-2)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2-x-6)(x^2+x-6)\end{eqnarray}\)
\(x^2-6=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A-x)(A+x)
\\[3pt]~~~&=&A^2-x^2\end{eqnarray}\)
\(A=x^2-6\) を元に戻し、さらに展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2-6)^2-x^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-6)+(-6)^2-x^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-12x^2+36-x^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-13x^2+36\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-13x^2+36\) となる
問題アーカイブ17
\((x+2)(x+5)(x-2)(x-5)\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.13 問18(1)
\((x+2)(x+5)\) と \((x-2)(x-5)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、同じ部分が出てくるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+2)(x+5)(x-2)(x-5)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x+2)(x-2)\,\right\}\left\{\,(x+5)(x-5)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4)(x^2-25)
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+\{(-4)+(-25)\}x^2+(-4)\cdot(-25)
\\[3pt]~~~&=&x^4-29x^2+100\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^4-29x^2+100\) となる
問題アーカイブ18
\((a+2b)^2(a-2b)^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.13 問18(3)
\((a+2b)^2\) と \((a-2b)^2\) をそれぞれ先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、全体の2乗と考えて、中の展開を先に行う。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+2b)^2(a-2b)^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(a+2b)(a-2b)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(a^2-4b^2)^2
\\[3pt]~~~&=&(a^2)^2+2 \cdot a^2 \cdot (-4b^2)+(-4b^2)^2
\\[3pt]~~~&=&a^4-8a^2b^2+16b^4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^4-8a^2b^2+16b^4\) となる
問題アーカイブ19
\((2x-3y)^2(2x+3y)^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.13 問18(4)
\((2x-3y)^2\) と \((2x+3y)^2\) をそれぞれ先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、全体の2乗と考えて、中の展開を先に行う。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2x-3y)^2(2x+3y)^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(2x-3y)(2x+3y)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&(4x^2-9y^2)^2
\\[3pt]~~~&=&(4x^2)^2+2 \cdot 4x^2 \cdot (-9y^2)+(-9y^2)^2
\\[3pt]~~~&=&16x^4-72x^2y^2+81y^4\end{eqnarray}\)
したがって、\(16x^4-72x^2y^2+81y^4\) となる
問題アーカイブ20
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.13 問19
\((a^2+1)(a+1)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、\(a^2-b^2\) の形になるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a^2+1)(a+1)(a-1)
\\[3pt]~~~&=&(a^2+1)(a^2-1^2)
\\[3pt]~~~&=&(a^2+1)(a^2-1)
\\[3pt]~~~&=&(a^2)^2-1^2
\\[3pt]~~~&=&a^4-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^4-1\) となる
問題アーカイブ21
\((x-2)(x+2)(x^2+4)(x^4+16)\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[701] p.48 練習問題A 2(2)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.50 Level Up 1(4)
\((x-2)(x+2)\) を先に展開し、順に \(a^2-b^2\) の形になるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^4+16)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-4)(x^2+4)(x^4+16)
\\[3pt]~~~&=&(x^4-16)(x^4+16)
\\[3pt]~~~&=&(x^4)^2-16^2
\\[3pt]~~~&=&x^8-256\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^8-256\) となる
問題アーカイブ22
\((x-2)(x-1)(x+4)(x+8)\)
東京書籍｜Standard数学Ⅰ[702] p.50 Level Up 1(2)
\((x-2)(x-1)\) と \((x+4)(x+8)\) を先に展開すると、項が多くなりその後の展開が大変になる。
よって、同じ部分が出てくるように組合せを工夫する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-2)(x-1)(x+4)(x+8)
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,(x-2)(x+4)\,\right\}\left\{\,(x-1)(x+8)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+2x-8)(x^2+7x-8)\end{eqnarray}\)
\(x^2-8=A\) とおき、展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(A+2x)(A+7x)
\\[3pt]~~~&=&A^2+9xA+14x^2\end{eqnarray}\)
\(A=x^2-8\) を元に戻し、さらに展開すると、
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2+2 \cdot x^2 \cdot (-8)+(-8)^2+9x^3-72x+14x^2
\\[3pt]~~~&=&x^4-16x^2+64+9x^3+14x^2-72x
\\[3pt]~~~&=&x^4+9x^3-2x^2-72x+64\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(x^4+9x^3-2x^2-72x+64\) となる
